第 11209 題：線性獨立與基底

原題與已知條件

明示有限座標向量族。操作=linbasis-basis-r2-audit；資料={"vectors":[[1,-4],[0,1]]}。請依 [vectors,rank,independent,spans_R2,basis_R2] 欄序回答。

• G001 — 明示有限座標向量族。操作=linbasis-basis-r2-audit；資料={"vectors":[[1,-4],[0,1]]}。請依 [vectors,rank,independent,spans_R2,basis_R2] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-independence-basis

逐步推導

ordered column vectors=[[1, -4], [0, 1]]

homogeneous coefficient matrix=[[1, 0], [-4, 1]];unknown count=2

matrix=[[1, 0], [-4, 1]];next pivot column=0;swap rows 0,0

matrix=[[1, 0], [-4, 1]]

pivot0 normalized column0 := div(1, 1)

pivot0 normalized column0 = 1

pivot0 normalized column1 := div(0, 1)

pivot0 normalized column1 = 0

row=0;old row=[1, 0];nonzero divisor=1

new row=[1, 0]

eliminate pivot0 row1 column0 scaled := mul(-4, 1)

eliminate pivot0 row1 column0 scaled = -4

eliminate pivot0 row1 column0 residual := sub(-4, -4)

eliminate pivot0 row1 column0 residual = 0

eliminate pivot0 row1 column1 scaled := mul(-4, 0)

eliminate pivot0 row1 column1 scaled = 0

eliminate pivot0 row1 column1 residual := sub(1, 0)

eliminate pivot0 row1 column1 residual = 1

target row=1;old=[-4, 1];pivot row=[1, 0];factor=-4

new row=[0, 1];matrix=[[1, 0], [0, 1]]

matrix=[[1, 0], [0, 1]];next pivot column=1;swap rows 1,1

matrix=[[1, 0], [0, 1]]

pivot1 normalized column0 := div(0, 1)

pivot1 normalized column0 = 0

pivot1 normalized column1 := div(1, 1)

pivot1 normalized column1 = 1

row=1;old row=[0, 1];nonzero divisor=1

new row=[0, 1]

reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1];unknown count=2

rank=2;free variables=0;independent=是

ambient space=R2;rank=2;family size=2

independent=是;spans_R2=是;basis_R2=是

逐步反向核對

• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot1 normalized column1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot1 normalized column0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot0 row1 column1 residual，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot0 row1 column1 scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot0 row1 column0 residual，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 eliminate pivot0 row1 column0 scaled，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot0 normalized column1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pivot0 normalized column0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, -4], [0, 1]], 2, 是, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。