第 11161 題：凸集合證書與反例

原題與已知條件

量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":12,"left":[0,0],"right":[11,0],"lambda":[11,13]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。

• G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":12,"left":[0,0],"right":[11,0],"lambda":[11,13]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-convex-set

逐步推導

left endpoint dot term0 := mul(1, 0)

left endpoint dot term0 = 0

left endpoint dot term1 := mul(1, 0)

left endpoint dot term1 = 0

left endpoint dot sum := sum(0, 0)

left endpoint dot sum = 0

right endpoint dot term0 := mul(1, 11)

right endpoint dot term0 = 11

right endpoint dot term1 := mul(1, 0)

right endpoint dot term1 = 0

right endpoint dot sum := sum(11, 0)

right endpoint dot sum = 11

normal=[1, 1];bound=12;left dot=0;right dot=11

both endpoints satisfy the closed halfspace inequality

halfspace point complementary weight := sub(1, 11/13)

halfspace point complementary weight = 2/13

halfspace point:raw lambda=[11, 13];lambda=11/13;one-minus-lambda=2/13

in_closed_unit_interval=是;lambda weights left

halfspace point:ordered vectors=[[0, 0], [11, 0]];aligned weights=[11/13, 2/13]

dimension=2;preserve duplicates and order

halfspace point coordinate0 term0 := mul(11/13, 0)

halfspace point coordinate0 term0 = 0

halfspace point coordinate0 term1 := mul(2/13, 11)

halfspace point coordinate0 term1 = 22/13

halfspace point coordinate0 sum := sum(0, 22/13)

halfspace point coordinate0 sum = 22/13

halfspace point coordinate1 term0 := mul(11/13, 0)

halfspace point coordinate1 term0 = 0

halfspace point coordinate1 term1 := mul(2/13, 0)

halfspace point coordinate1 term1 = 0

halfspace point coordinate1 sum := sum(0, 0)

halfspace point coordinate1 sum = 0

combined point dot term0 := mul(1, 22/13)

combined point dot term0 = 22/13

combined point dot term1 := mul(1, 0)

combined point dot term1 = 0

combined point dot sum := sum(22/13, 0)

combined point dot sum = 22/13

halfspace bound slack := sub(12, 22/13)

halfspace bound slack = 134/13

normal dot z=22/13;endpoint dots=(0,11);lambda=11/13;bound=12

normal dot z=lambda*0+(1-lambda)*11<=12;inside=是

逐步反向核對

• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace bound slack，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot sum，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point complementary weight，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term0，不以小數近似替代。

結論

([1, 1], 12, [0, 0], [11, 0], 0, 11, 11/13, [22/13, 0], 22/13, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。