第 33227 題：基底密度

原題與已知條件

只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit；資料={"basis":[[1,-1],[0,1]],"target":[-11,9],"first_coordinates":[-11,-2],"second_coordinates":[-11,-2]}。請依 [basis,target,det,first,first_target,first_matches,second,second_target,second_matches,uniqueness_consistent] 欄序回答。

• G001 — 只深化既有有限R2基底語義。操作=basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit；資料={"basis":[[1,-1],[0,1]],"target":[-11,9],"first_coordinates":[-11,-2],"second_coordinates":[-11,-2]}。請依 [basis,target,det,first,first_target,first_matches,second,second_target,second_matches,uniqueness_consistent] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-independence-basis

逐步推導

source roles = [qf-mod25-basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit, basisdeep-r2-coordinate-uniqueness-audit, R2_basis_density_without_dimension_extension, []]

derived = [[basis, target, D, first, reconstruction1, match1, second, reconstruction2, match2, implication]]

source roles = [ordered R2 basis COLUMNS vector0, [1, -1]]

derived = [[1, -1]]

source roles = [ordered R2 basis COLUMNS vector1, [0, 1]]

derived = [[0, 1]]

source roles = [R2 target, [-11, 9]]

derived = [[-11, 9]]

R2 ORIGINAL b1x times b2y := mul(1, 1)

R2 ORIGINAL b1x times b2y = 1

R2 ORIGINAL b2x times b1y := mul(0, -1)

R2 ORIGINAL b2x times b1y = 0

R2 ORIGINAL signed column determinant := sub(1, 0)

R2 ORIGINAL signed column determinant = 1

R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y := mul(-11, 1)

R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y = -11

R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety := mul(0, 9)

R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety = 0

R2 true coordinate ORIGINAL first numerator := sub(-11, 0)

R2 true coordinate ORIGINAL first numerator = -11

R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety := mul(1, 9)

R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety = 9

R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y := mul(-11, -1)

R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y = 11

R2 true coordinate ORIGINAL second numerator := sub(9, 11)

R2 true coordinate ORIGINAL second numerator = -2

source roles = [R2 source helper TRUEcoordinate0, RAW-pair, [-11, 1], [], -11, 1]

derived = [-11, 1, -11]

R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(-11, 1)

R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = -11

source roles = [R2 source helper TRUEcoordinate1, RAW-pair, [-2, 1], [], -2, 1]

derived = [-2, 1, -2]

R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator := div(-2, 1)

R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator = -2

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term := mul(-11, 1)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term = -11

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term := mul(-2, 0)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term = 0

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum := sum(-11, 0)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum = -11

source roles = [R2 FIRST integer coordinate list, 0, [[1, -1], [0, 1]], [-11, -2]]

derived = [[-11, 0], -11]

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term := mul(-11, -1)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term = 11

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term := mul(-2, 1)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term = -2

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum := sum(11, -2)

R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum = 9

source roles = [R2 FIRST integer coordinate list, 1, [[1, -1], [0, 1]], [-11, -2]]

derived = [[11, -2], 9]

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term := mul(-11, 1)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term = -11

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term := mul(-2, 0)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term = 0

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum := sum(-11, 0)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum = -11

source roles = [R2 SECOND integer coordinate list, 0, [[1, -1], [0, 1]], [-11, -2]]

derived = [[-11, 0], -11]

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term := mul(-11, -1)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term = 11

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term := mul(-2, 1)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term = -2

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum := sum(11, -2)

R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum = 9

source roles = [R2 SECOND integer coordinate list, 1, [[1, -1], [0, 1]], [-11, -2]]

derived = [[11, -2], 9]

source roles = [[[1, -1], [0, 1]], [-11, 9], 1]

derived = [[-11, -2], [-11, -2], [-11, 9], 是, [-11, -2], [-11, 9], 是, 是]

逐步反向核對

• S034 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S033 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 SECOND integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate1 all terms sum，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate1 weighted term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL coordinate0 all terms sum，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector1 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 FIRST integer coordinate list ORIGINAL vector0 coordinate0 weighted term，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 source helper TRUEcoordinate1 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 source helper TRUEcoordinate0 ORIGINAL raw numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL second numerator，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b1y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL b1x times targety，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL first numerator，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL b2x times targety，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 true coordinate ORIGINAL targetx times b2y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL signed column determinant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL b2x times b1y，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 R2 ORIGINAL b1x times b2y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S002 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、型別、欄序、論域與明示前提反向核對；不表示結論唯一還原前提。有限來源候選、獨立審查、形式證明及發布各自分開。

結論

([[1, -1], [0, 1]], [-11, 9], 1, [-11, -2], [-11, 9], 是, [-11, -2], [-11, 9], 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。