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第 12007 題：有限阿貝爾群

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0023-12007 · q-20261013-advance-20261026-r01-finite-abelian-group-0007

原題與已知條件

完整有限Cayley表先通過全部群公理。操作=abelian-commutativity-audit；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,3,4,2,5,0],[2,4,0,5,1,3],[3,2,5,4,0,1],[4,5,1,0,3,2],[5,0,3,1,2,4]]}。請依 [n,identity,noncommuting_pairs,abelian] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限Cayley表先通過全部群公理。操作=abelian-commutativity-audit；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,3,4,2,5,0],[2,4,0,5,1,3],[3,2,5,4,0,1],[4,5,1,0,3,2],[5,0,3,1,2,4]]}。請依 [n,identity,noncommuting_pairs,abelian] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(6);complete Cayley table=[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 3, 4, 2, 5, 0], [2, 4, 0, 5, 1, 3], [3, 2, 5, 4, 0, 1], [4, 5, 1, 0, 3, 2], [5, 0, 3, 1, 2, 4]]

操作後

all entries lie in carrier;do not assume identity0 or commutativity

條件：無

先固定完整運算表與標籤，合型封閉只是第一條群前提；名字含Abelian不替代交換律檢查。

步驟識別與依賴

規則：complete_finite_group_typed_table · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

a=0;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

a=0;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

a=0;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

a=0;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

a=0;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

a=0;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

a=1;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

a=1;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

a=1;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

a=1;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

a=1;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

a=1;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

a=2;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

a=2;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

a=2;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

a=2;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

a=2;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

a=2;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

a=3;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

a=3;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

a=3;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

a=3;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

a=3;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

a=3;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

a=4;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

a=4;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

a=4;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

a=4;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

a=4;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

a=4;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

a=5;b=0;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];a*(b*c) values=[5, 0, 3, 1, 2, 4];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

a=5;b=1;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];a*(b*c) values=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

a=5;b=2;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];a*(b*c) values=[3, 2, 5, 4, 0, 1];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

a=5;b=3;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];a*(b*c) values=[1, 3, 4, 2, 5, 0];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

a=5;b=4;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];a*(b*c) values=[2, 4, 0, 5, 1, 3];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

a=5;b=5;all c=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

(a*b)*c values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];a*(b*c) values=[4, 5, 1, 0, 3, 2];equal=是

條件：無

固定每個有序(a,b)後，逐一列全部c的兩側，所有列相等才是完整有限結合律核查。

步驟識別與依賴

規則：associativity_every_third_label · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

candidate identity=0;left products=[0, 1, 2, 3, 4, 5];right products=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

both equal original carrier labels=是

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

candidate identity=1;left products=[1, 3, 4, 2, 5, 0];right products=[1, 3, 4, 2, 5, 0]

操作後

both equal original carrier labels=否

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

candidate identity=2;left products=[2, 4, 0, 5, 1, 3];right products=[2, 4, 0, 5, 1, 3]

操作後

both equal original carrier labels=否

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

candidate identity=3;left products=[3, 2, 5, 4, 0, 1];right products=[3, 2, 5, 4, 0, 1]

操作後

both equal original carrier labels=否

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

candidate identity=4;left products=[4, 5, 1, 0, 3, 2];right products=[4, 5, 1, 0, 3, 2]

操作後

both equal original carrier labels=否

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

candidate identity=5;left products=[5, 0, 3, 1, 2, 4];right products=[5, 0, 3, 1, 2, 4]

操作後

both equal original carrier labels=否

條件：無

同時要求e*x=x與x*e=x，標籤0沒有預設特權；回讀兩邊原表。

步驟識別與依賴

規則：two_sided_identity_derive_not_zero_label · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

element=0;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[0]

操作後

inverse=0

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

element=1;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[5]

操作後

inverse=5

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

element=2;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[2]

操作後

inverse=2

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

element=3;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[4]

操作後

inverse=4

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

element=4;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[3]

操作後

inverse=3

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

element=5;actual identity=0;two-sided inverse candidates=[1]

操作後

inverse=1

條件：無

對每個元素找兩側都回到實際單位元的逆元；缺任一逆元就不能沿用後續群論證。

步驟識別與依賴

規則：group_inverse_qualified_at_actual_identity · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

unordered distinct labels=[0, 1];a*b=1;b*a=1

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

unordered distinct labels=[0, 2];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

unordered distinct labels=[0, 3];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

unordered distinct labels=[0, 4];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

unordered distinct labels=[0, 5];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

unordered distinct labels=[1, 2];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

unordered distinct labels=[1, 3];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

unordered distinct labels=[1, 4];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

unordered distinct labels=[1, 5];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

unordered distinct labels=[2, 3];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

unordered distinct labels=[2, 4];a*b=1;b*a=1

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

unordered distinct labels=[2, 5];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

unordered distinct labels=[3, 4];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

unordered distinct labels=[3, 5];a*b=1;b*a=1

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

unordered distinct labels=[4, 5];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

對角同項自動相等；每個不同元素對核兩種次序，失敗記錄保留a<b原標籤順序。

步驟識別與依賴

規則：every_off_diagonal_commutativity_pair · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

all noncommuting records=[]

操作後

specified finite group abelian=是

條件：無

所有元素對相同才是此群交換；只分類這份完整有限表，不推廣到任意群。

步驟識別與依賴

規則：finite_abelian_all_pairs_not_general_classification · 依賴：G001, S064

逐步反向核對

  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(6, 0, [], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 43e456c02fa6e84651abfa9c2a20296fc829b0e8a57a1649537c0ffe096e5bf2
  • candidate record SHA-256: 966f3ddd0858a811cbb251d5fee07176b0586ea86355791b64f7ebcf8f69a3bb
  • semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff
  • question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON