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第 12304 題：等價關係

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0023-12304 · q-20261013-advance-20261026-r07-equivalence-relation-0079

原題與已知條件

固定完整有限載體與關係對集合。操作=equiv-qualification-classes；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2],[3,3],[3,4],[3,5],[4,3],[4,4],[4,5],[5,3],[5,4],[5,5]]}。請依 [n,missing_reflexive,missing_symmetric,missing_transitive,equivalence,classes] 欄序回答。

  • G001 — 固定完整有限載體與關係對集合。操作=equiv-qualification-classes；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2],[3,3],[3,4],[3,5],[4,3],[4,4],[4,5],[5,3],[5,4],[5,5]]}。請依 [n,missing_reflexive,missing_symmetric,missing_transitive,equivalence,classes] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

raw relation pairs=[[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [2, 0], [2, 1], [2, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 3], [5, 4], [5, 5]];carrier Fin(6)

操作後

lexicographically sorted distinct ordered pairs=[[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [2, 0], [2, 1], [2, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 3], [5, 4], [5, 5]]

條件：無

方向有別的關係對按詞典序列出；重複不是合法輸入，不自行補反向、對角或傳遞閉包。

步驟識別與依賴

規則：complete_relation_no_duplicate_or_implicit_repair · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

carrier label=0;required diagonal=[0, 0]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

carrier label=1;required diagonal=[1, 1]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

carrier label=2;required diagonal=[2, 2]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

carrier label=3;required diagonal=[3, 3]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

carrier label=4;required diagonal=[4, 4]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

carrier label=5;required diagonal=[5, 5]

操作後

present=是

條件：無

完整載體每個點都需自己的對角對，不能只檢查已在關係中出現的標籤。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_carrier_diagonal · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

original pair=[0, 0];required reverse=[0, 0]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

original pair=[0, 1];required reverse=[1, 0]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

original pair=[0, 2];required reverse=[2, 0]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

original pair=[1, 0];required reverse=[0, 1]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

original pair=[1, 1];required reverse=[1, 1]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

original pair=[1, 2];required reverse=[2, 1]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

original pair=[2, 0];required reverse=[0, 2]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

original pair=[2, 1];required reverse=[1, 2]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

original pair=[2, 2];required reverse=[2, 2]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

original pair=[3, 3];required reverse=[3, 3]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

original pair=[3, 4];required reverse=[4, 3]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

original pair=[3, 5];required reverse=[5, 3]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

original pair=[4, 3];required reverse=[3, 4]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

original pair=[4, 4];required reverse=[4, 4]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

original pair=[4, 5];required reverse=[5, 4]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

original pair=[5, 3];required reverse=[3, 5]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

original pair=[5, 4];required reverse=[4, 5]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

original pair=[5, 5];required reverse=[5, 5]

操作後

reverse present=是

條件：無

檢查逆向對是否存在，但失敗清單按協定記原來的[a,b]，不是缺少的[b,a]。空關係對稱是空泛真。

步驟識別與依賴

規則：relation_original_pair_missing_reverse_record · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

first original pair=[0, 0];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[0, 0, 0, 是], [0, 0, 1, 是], [0, 0, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

first original pair=[0, 1];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[0, 1, 0, 是], [0, 1, 1, 是], [0, 1, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

first original pair=[0, 2];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[0, 2, 0, 是], [0, 2, 1, 是], [0, 2, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

first original pair=[1, 0];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[1, 0, 0, 是], [1, 0, 1, 是], [1, 0, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

first original pair=[1, 1];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[1, 1, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [1, 1, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

first original pair=[1, 2];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[1, 2, 0, 是], [1, 2, 1, 是], [1, 2, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

first original pair=[2, 0];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[2, 0, 0, 是], [2, 0, 1, 是], [2, 0, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

first original pair=[2, 1];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[2, 1, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [2, 1, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

first original pair=[2, 2];all composable second endpoints=[0, 1, 2]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[2, 2, 0, 是], [2, 2, 1, 是], [2, 2, 2, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

first original pair=[3, 3];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[3, 3, 3, 是], [3, 3, 4, 是], [3, 3, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

first original pair=[3, 4];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[3, 4, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [3, 4, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

first original pair=[3, 5];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[3, 5, 3, 是], [3, 5, 4, 是], [3, 5, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

first original pair=[4, 3];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[4, 3, 3, 是], [4, 3, 4, 是], [4, 3, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

first original pair=[4, 4];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[4, 4, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [4, 4, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

first original pair=[4, 5];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[4, 5, 3, 是], [4, 5, 4, 是], [4, 5, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

first original pair=[5, 3];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[5, 3, 3, 是], [5, 3, 4, 是], [5, 3, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

first original pair=[5, 4];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[5, 4, 3, 是], [5, 4, 4, 是], [5, 4, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

first original pair=[5, 5];all composable second endpoints=[3, 4, 5]

操作後

required transitivity rows [a,b,d,aRd]=[[5, 5, 3, 是], [5, 5, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

完整列出所有bRd的接續，再核aRd；失敗是[a,b,d]三元見證。沒有接續時這個前提分支空泛通過，不代表整體等價。

步驟識別與依賴

規則：relation_every_composable_original_pair · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

least unseen representative=0;complete relation=[[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [2, 0], [2, 1], [2, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 3], [5, 4], [5, 5]]

操作後

class=[0, 1, 2];seen=[0, 1, 2]

條件：無

資格全通過後才用原關係取類，按最小未訪標籤選代表、類內遞增。等價公理保證類相等或不相交且覆蓋載體。

步驟識別與依賴

規則：equivalence_class_after_all_axioms · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

least unseen representative=3;complete relation=[[0, 0], [0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 1], [1, 2], [2, 0], [2, 1], [2, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 3], [5, 4], [5, 5]]

操作後

class=[3, 4, 5];seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

條件：無

資格全通過後才用原關係取類，按最小未訪標籤選代表、類內遞增。等價公理保證類相等或不相交且覆蓋載體。

步驟識別與依賴

規則：equivalence_class_after_all_axioms · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

missing reflexive=[];missing reverses=[];missing transitive triples=[]

操作後

equivalence=是;classes=[[0, 1, 2], [3, 4, 5]]

條件：無

三條責任全通過才輸出類；任一不合時類清單留空，不藉連通分組修補原關係。

步驟識別與依賴

規則：equivalence_three_obligations_no_silent_closure · 依賴：G001, S045

逐步反向核對

  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(6, [], [], [], 是, [[0, 1, 2], [3, 4, 5]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: fafb9ab74edaf3c26830e3157213fee6e92f4f36da919ba9180843b8dc9462ba
  • candidate record SHA-256: f88ab9d732cda6b4994f11389dffc6cf2fb4c2be4ecc7c8357c6452a063a26d0
  • semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ff
  • question-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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