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第 12888 題：完備度量空間

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0024-12888 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0038

原題與已知條件

完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-ultimately-constant-limit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,10,11],[9,10,0,13],[10,11,13,0]],"prefix":[0,1,2],"tail":3}。請依 [prefix,tail,N,limit,cauchy,converges_in_space] 欄序回答。

  • G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-ultimately-constant-limit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,10,11],[9,10,0,13],[10,11,13,0]],"prefix":[0,1,2],"tail":3}。請依 [prefix,tail,N,limit,cauchy,converges_in_space] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 7, 9, 10], [7, 0, 10, 11], [9, 10, 0, 13], [10, 11, 13, 0]]

操作後

zero iff equal=是;symmetric=是

條件：無

先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[0, 14, 18, 20];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

endpoints=[0, 1];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[7, 7, 19, 21];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

endpoints=[0, 2];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[9, 17, 9, 23];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

endpoints=[0, 3];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 18, 22, 10];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

endpoints=[1, 0];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[7, 7, 19, 21];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[14, 0, 20, 22];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

endpoints=[1, 2];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[16, 10, 10, 24];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

endpoints=[1, 3];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[17, 11, 23, 11];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

endpoints=[2, 0];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[9, 17, 9, 23];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

endpoints=[2, 1];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[16, 10, 10, 24];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 20, 0, 26];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

endpoints=[2, 3];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[19, 21, 13, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

endpoints=[3, 0];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 18, 22, 10];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

endpoints=[3, 1];direct distance=11;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[17, 11, 23, 11];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

endpoints=[3, 2];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[19, 21, 13, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[20, 22, 26, 0];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

all off-diagonal positive distances=[7, 9, 10, 7, 10, 11, 9, 10, 13, 10, 11, 13]

操作後

minimum positive distance delta=7>0

條件：無

有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。

步驟識別與依賴

規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

typed prefix=[0, 1, 2];all infinite later terms explicitly equal tail=3

操作後

N=3;limit=3 in Fin(4);all tail pairs and tail-to-limit distances0

條件：無

題目明示無限尾段，不從有限樣本猜；對任意正epsilon取前綴長度N，尾對距離及到tail距離皆0，所以同時Cauchy並在本空間收斂。

步驟識別與依賴

規則：declared_constant_tail_in_same_metric_space · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 1, 2], 3, 3, 3, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 127adf81628980b0087acb1e89b505fb4e226ce1d656d9feb8cd9ea43f8bc061
  • candidate record SHA-256: 9925d07f4e640b6171fe5c8cbde86a076e9a907705b33f1e792e0e3cbf2dea8f
  • semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35
  • question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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