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第 12811 題：完備度量空間

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0024-12811 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0061

原題與已知條件

完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-alternating-noncauchy；資料={"n":4,"metric":[[0,5,10,13],[5,0,13,16],[10,13,0,21],[13,16,21,0]],"left":2,"right":3,"N":21}。請依 [left,right,N,next_index,epsilon,distance,counterexample,cauchy] 欄序回答。

  • G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-alternating-noncauchy；資料={"n":4,"metric":[[0,5,10,13],[5,0,13,16],[10,13,0,21],[13,16,21,0]],"left":2,"right":3,"N":21}。請依 [left,right,N,next_index,epsilon,distance,counterexample,cauchy] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 5, 10, 13], [5, 0, 13, 16], [10, 13, 0, 21], [13, 16, 21, 0]]

操作後

zero iff equal=是;symmetric=是

條件：無

先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[0, 10, 20, 26];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

endpoints=[0, 1];direct distance=5;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[5, 5, 23, 29];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

endpoints=[0, 2];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 18, 10, 34];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

endpoints=[0, 3];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[13, 21, 31, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

endpoints=[1, 0];direct distance=5;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[5, 5, 23, 29];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 0, 26, 32];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

endpoints=[1, 2];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[15, 13, 13, 37];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

endpoints=[1, 3];direct distance=16;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 16, 34, 16];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

endpoints=[2, 0];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 18, 10, 34];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

endpoints=[2, 1];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[15, 13, 13, 37];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[20, 26, 0, 42];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

endpoints=[2, 3];direct distance=21;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[23, 29, 21, 21];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

endpoints=[3, 0];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[13, 21, 31, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

endpoints=[3, 1];direct distance=16;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 16, 34, 16];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

endpoints=[3, 2];direct distance=21;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[23, 29, 21, 21];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[26, 32, 42, 0];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

all off-diagonal positive distances=[5, 10, 13, 5, 13, 16, 10, 13, 21, 13, 16, 21]

操作後

minimum positive distance delta=5>0

條件：無

有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。

步驟識別與依賴

規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

adjacent alternating tail index := sum(21, 1)

操作後

adjacent alternating tail index = 22

條件：無

依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

explicit infinite sequence alternates labels=[2, 3];arbitrary cutoff=21

操作後

indices=[21, 22];epsilon=d(left,right)=21>0;actual adjacent distance=21=epsilon

條件：無

相鄰兩項就是這兩點的某一順序，對稱性給相同距離。固定epsilon=d>0，距離等於epsilon就違反嚴格小於；這個構造對每個N有效。

步驟識別與依賴

規則：metric_alternation_fixed_epsilon_strict_failure · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

every cutoff defeated at fixed epsilon=21

操作後

counterexample=是;Cauchy=否;non-Cauchy sequence does not refute space completeness

條件：無

完備性只要求Cauchy序列有極限，非Cauchy序列不在前提內。最後欄沿用來源已更正的Cauchy欄名，不是not_cauchy。

步驟識別與依賴

規則：nonCauchy_not_counterexample_to_completeness · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 adjacent alternating tail index，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, 3, 21, 22, 21, 21, 是, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 901a0d31f533f720c0ef2501fabb4696c98f884ddb789f00b3bb6469222e16d6
  • candidate record SHA-256: b37183f6dad434001245aa34f1a1531af157185daa88ed4522f2513ba02d4046
  • semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35
  • question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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