第 12828 題：完備度量空間

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0024-12828 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0078

原題與已知條件

完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,5,10,13],[5,0,9,12],[10,9,0,17],[13,12,17,0]],"evidence_mode":"finite_minimum_separation"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。

G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,5,10,13],[5,0,9,12],[10,9,0,17],[13,12,17,0]],"evidence_mode":"finite_minimum_separation"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-complete-metric-space

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 5, 10, 13], [5, 0, 9, 12], [10, 9, 0, 17], [13, 12, 17, 0]]

操作後

zero iff equal=是;symmetric=是

條件：無

先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[0, 10, 20, 26];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

endpoints=[0, 1];direct distance=5;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[5, 5, 19, 25];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

endpoints=[0, 2];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 14, 10, 30];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

endpoints=[0, 3];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[13, 17, 27, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

endpoints=[1, 0];direct distance=5;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[5, 5, 19, 25];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 0, 18, 24];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

endpoints=[1, 2];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[15, 9, 9, 29];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

endpoints=[1, 3];direct distance=12;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 12, 26, 12];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

endpoints=[2, 0];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 14, 10, 30];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

endpoints=[2, 1];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[15, 9, 9, 29];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[20, 18, 0, 34];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

endpoints=[2, 3];direct distance=17;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[23, 21, 17, 17];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

endpoints=[3, 0];direct distance=13;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[13, 17, 27, 13];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

endpoints=[3, 1];direct distance=12;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 12, 26, 12];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

endpoints=[3, 2];direct distance=17;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[23, 21, 17, 17];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[26, 24, 34, 0];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

all off-diagonal positive distances=[5, 10, 13, 5, 9, 12, 10, 9, 17, 13, 12, 17]

操作後

minimum positive distance delta=5>0

條件：無

有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。

步驟識別與依賴

規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

arbitrary Cauchy sequence in Fin(4);choose epsilon=delta=5>0

操作後

some N has every m,k>=N with d(x_m,x_k)<5;minimum separation forces x_m=x_k

條件：無

由Cauchy定義對epsilon=delta取得一個N。不同點的距離至少delta，但尾對嚴格小於delta，故任意尾對都相同，特別等於x_N。

步驟識別與依賴

規則：every_Cauchy_sequence_eventually_constant · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

all tail terms equal x_N;typed sequence guarantees x_N in Fin(4)

操作後

for every positive eta,all k>=N have distance(x_k,x_N)=0<eta;limit belongs to same space

條件：無

共同尾值本來就在原空間，對任意正eta取相同N距離皆0。因此每個Cauchy序列都有空間內極限，才是完備；不是只證一條序列或環境空間有極限。

步驟識別與依賴

規則：finite_completeness_quantifier_and_internal_limit · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

qualified finite metric;delta=5;selected evidence mode=finite_minimum_separation

操作後

selected evidence sufficient=是;space completeness is not denied by sample insufficiency

條件：無

最小正距離方法覆蓋每個Cauchy序列，有限抽樣沒有這個量詞覆蓋。樣本模式的No只是否定證據充分，不說這個合格有限空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_evidence_mode_not_truth_of_incompleteness · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(4, 5, finite_minimum_separation, 是, universal_finite_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 7e5718f303cbc100b625d05ec0e4af491554ccafbc7b2bedfa41eadecbf2c62c
candidate record SHA-256: f5b4dc1ebd567c27f97276b68cfdc8ee15bde591d5a2ea9eae662079b0ea2356
semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35
question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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