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第 12830 題：完備度量空間

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0024-12830 · q-20261014-advance-20261027-r03-complete-metric-space-0080

原題與已知條件

完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,6,7],[9,6,0,9],[10,7,9,0]],"evidence_mode":"sampled_sequences"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 完備性量化空間內每個Cauchy序列。操作=complete-evidence-mode-audit；資料={"n":4,"metric":[[0,7,9,10],[7,0,6,7],[9,6,0,9],[10,7,9,0]],"evidence_mode":"sampled_sequences"}。請依 [n,min_positive_distance,evidence_mode,sufficient,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(4);complete nonnegative integer metric candidate=[[0, 7, 9, 10], [7, 0, 6, 7], [9, 6, 0, 9], [10, 7, 9, 0]]

操作後

zero iff equal=是;symmetric=是

條件：無

先核整表的非負、對角與非對角分離、對稱，不只核本題用到的兩格；至少兩點是本最小正距離協定前提，不是單點空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_separation_and_symmetry · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

endpoints=[0, 0];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[0, 14, 18, 20];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

endpoints=[0, 1];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[7, 7, 15, 17];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

endpoints=[0, 2];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[9, 13, 9, 19];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

endpoints=[0, 3];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 14, 18, 10];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

endpoints=[1, 0];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[7, 7, 15, 17];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

endpoints=[1, 1];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[14, 0, 12, 14];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

endpoints=[1, 2];direct distance=6;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[16, 6, 6, 16];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

endpoints=[1, 3];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[17, 7, 15, 7];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

endpoints=[2, 0];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[9, 13, 9, 19];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

endpoints=[2, 1];direct distance=6;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[16, 6, 6, 16];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

endpoints=[2, 2];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[18, 12, 0, 18];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

endpoints=[2, 3];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[19, 13, 9, 9];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

endpoints=[3, 0];direct distance=10;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[10, 14, 18, 10];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

endpoints=[3, 1];direct distance=7;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[17, 7, 15, 7];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

endpoints=[3, 2];direct distance=9;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[19, 13, 9, 9];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

endpoints=[3, 3];direct distance=0;all intermediate labels=[0, 1, 2, 3]

操作後

all two-leg distances=[20, 14, 18, 0];direct<=every two-leg=是

條件：無

對每個有序端點對遍歷每個中間點，三角條件要全部成立；完整有限核查不是幾個三角形樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_metric_all_triangle_intermediates · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

all off-diagonal positive distances=[7, 9, 10, 7, 6, 7, 9, 6, 9, 10, 7, 9]

操作後

minimum positive distance delta=6>0

條件：無

有限非空正距離清單有正最小值，這是後續全稱Cauchy證書的空間尺度，不是從某條序列估出的門檻。

步驟識別與依賴

規則：finite_metric_positive_minimum_separation · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

qualified finite metric;delta=6;selected evidence mode=sampled_sequences

操作後

selected evidence sufficient=否;space completeness is not denied by sample insufficiency

條件：無

最小正距離方法覆蓋每個Cauchy序列，有限抽樣沒有這個量詞覆蓋。樣本模式的No只是否定證據充分，不說這個合格有限空間不完備。

步驟識別與依賴

規則：complete_evidence_mode_not_truth_of_incompleteness · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(4, 6, sampled_sequences, 否, sampled_sequences_insufficient)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 37890826d4fc3d7b83fd4e0debf589c3e24805f5dd879440857b6062bddbb571
  • candidate record SHA-256: 22bda368eec97c04132d4689bffc9787bb427fbbf5b2b3f48cfb660fb7dc9fda
  • semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35
  • question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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