S001 · calculation
操作前
Banach coordinate distance difference coordinate0 := sub(4, -4)
操作後
Banach coordinate distance difference coordinate0 = 8
條件：無
依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001
第 13442 題：實Banach空間
R0025-13442 · q-20261014-advance-20261028-r03-real-banach-space-0067
原題與已知條件
載體norm誘導metric與完備證書必須描述同一空間。操作=banach-distance-evaluate；資料={"norm_name":"l1","left":[4,-1,-1],"right":[-4,-4,-2]}。請依 [norm_name,left,right,difference,distance,boundary] 欄序回答。
G001— 載體norm誘導metric與完備證書必須描述同一空間。操作=banach-distance-evaluate；資料={"norm_name":"l1","left":[4,-1,-1],"right":[-4,-4,-2]}。請依 [norm_name,left,right,difference,distance,boundary] 欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · calculation
操作前
Banach coordinate distance difference coordinate1 := sub(-1, -4)
操作後
Banach coordinate distance difference coordinate1 = 3
條件：無
依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
Banach coordinate distance difference coordinate2 := sub(-1, -2)
操作後
Banach coordinate distance difference coordinate2 = 1
條件：無
依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
Banach coordinate distance:norm=l1;left=[4, -1, -1];right=[-4, -4, -2]
操作後
signed left-right=[8, 3, 1];use same named norm
條件：無
在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。
步驟識別與依賴
規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
Banach coordinate distance:coordinate=0;signed value=8
操作後
absolute value=8
條件：無
先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。
步驟識別與依賴
規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
Banach coordinate distance:coordinate=1;signed value=3
操作後
absolute value=3
條件：無
先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。
步驟識別與依賴
規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
Banach coordinate distance:coordinate=2;signed value=1
操作後
absolute value=1
條件：無
先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。
步驟識別與依賴
規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S006
S008 · calculation
操作前
Banach coordinate distance l1 sum := sum(8, 3, 1)
操作後
Banach coordinate distance l1 sum = 12
條件：無
依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
fixed carrier R^3;named norm=l1;distance=12
操作後
distance_evaluation_not_completeness_proof
條件：無
算出一個距離沒有量化每個Cauchy序列，不以這個數值另證完備性。
步驟識別與依賴
規則：Banach_distance_evaluation_not_all_Cauchy_claim · 依賴：G001, S008
逐步反向核對
S009· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance l1 sum，不以小數近似替代。S007· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate2，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate1，不以小數近似替代。S001· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate0，不以小數近似替代。
結論
(l1, [4, -1, -1], [-4, -4, -2], [8, 3, 1], 12, distance_evaluation_not_completeness_proof)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 76f8092c9288f38daffc9bc358d014f3430418bb151d391c4c3abde23a9c9b68candidate record SHA-256: 2125595b830a9c6e9c3380d52b2fe2d5a02fab9ddf437ae658be870d2e51e048semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8aLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED