第 13966 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[3,-2,-4],[-2,-3,4]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[3,-2,-4],[-2,-3,4]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original column index=0;ordered entries=[3, -2]

absolute entries=[3, 2]

operator column0 absolute sum := sum(3, 2)

operator column0 absolute sum = 5

original column index=1;ordered entries=[-2, -3]

absolute entries=[2, 3]

operator column1 absolute sum := sum(2, 3)

operator column1 absolute sum = 5

original column index=2;ordered entries=[-4, 4]

absolute entries=[4, 4]

operator column2 absolute sum := sum(4, 4)

operator column2 absolute sum = 8

all absolute column sums=[5, 5, 8]

maximum=8;first maximizing column=2

arbitrary x in R^3;all column sums<=8

norm1(Ax)<=sum_j(sum_i abs(Aij))*abs(xj)<=8*norm1(x)

attaining unit input image:matrix=[[3, -2, -4], [-2, -3, 4]];input=[0, 0, 1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(3, 0)

attaining unit input image row0 column0 product = 0

attaining unit input image row0 column1 product := mul(-2, 0)

attaining unit input image row0 column1 product = 0

attaining unit input image row0 column2 product := mul(-4, 1)

attaining unit input image row0 column2 product = -4

attaining unit input image row0 sum := sum(0, 0, -4)

attaining unit input image row0 sum = -4

attaining unit input image row1 column0 product := mul(-2, 0)

attaining unit input image row1 column0 product = 0

attaining unit input image row1 column1 product := mul(-3, 0)

attaining unit input image row1 column1 product = 0

attaining unit input image row1 column2 product := mul(4, 1)

attaining unit input image row1 column2 product = 4

attaining unit input image row1 sum := sum(0, 0, 4)

attaining unit input image row1 sum = 4

attaining input:signed vector=[0, 0, 1];norm=l1

coordinate absolute values=[0, 0, 1]

attaining input l1 sum := sum(0, 0, 1)

attaining input l1 sum = 1

attaining output:signed vector=[-4, 4];norm=l1

coordinate absolute values=[4, 4]

attaining output l1 sum := sum(4, 4)

attaining output l1 sum = 8

explicit input=[0, 0, 1];input norm=1;image=[-4, 4];output norm=8

uniform upper bound=8 and attained ratio=8;exact induced norm=8

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining output l1 sum，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining input l1 sum，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column2 absolute sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[3, -2, -4], [-2, -3, 4]], [5, 5, 8], 8, maximum_absolute_column_sum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。