第 14082 題：隨機變數獨立

原題與已知條件

全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[-6,19],"y_values":[3,26],"masses":[[[25,49],[10,49]],[[10,49],[4,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[-6,19],"y_values":[3,26],"masses":[[[25,49],[10,49]],[[10,49],[4,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-random-variable-independence

逐步推導

joint grid model whole mass sum := sum(25/49, 10/49, 10/49, 4/49)

joint grid model whole mass sum = 1

joint grid model:raw aligned masses=[[25, 49], [10, 49], [10, 49], [4, 49]]

normalized masses=[25/49, 10/49, 10/49, 4/49];nonnegative=是;total=1

original x row labels=[-6, 19];original y column labels=[3, 26]

normalized aligned row-by-column joint grid=[[25/49, 10/49], [10/49, 4/49]]

X row0 marginal := sum(25/49, 10/49)

X row0 marginal = 5/7

X row1 marginal := sum(10/49, 4/49)

X row1 marginal = 2/7

Y column0 marginal := sum(25/49, 10/49)

Y column0 marginal = 5/7

Y column1 marginal := sum(10/49, 4/49)

Y column1 marginal = 2/7

joint cell row0 column0 marginal product := mul(5/7, 5/7)

joint cell row0 column0 marginal product = 25/49

original row=0;column=0;value labels=[-6, 3];joint mass=25/49;marginal product=25/49

cell factorizes=是

joint cell row0 column1 marginal product := mul(5/7, 2/7)

joint cell row0 column1 marginal product = 10/49

original row=0;column=1;value labels=[-6, 26];joint mass=10/49;marginal product=10/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column0 marginal product := mul(2/7, 5/7)

joint cell row1 column0 marginal product = 10/49

original row=1;column=0;value labels=[19, 3];joint mass=10/49;marginal product=10/49

cell factorizes=是

joint cell row1 column1 marginal product := mul(2/7, 2/7)

joint cell row1 column1 marginal product = 4/49

original row=1;column=1;value labels=[19, 26];joint mass=4/49;marginal product=4/49

cell factorizes=是

all joint factorization failures=[]

random variables independent=是;all-cell factorization covers every value-event rectangle

moment row0 col0 weighted X := mul(25/49, -6)

moment row0 col0 weighted X = -150/49

moment row0 col0 weighted Y := mul(25/49, 3)

moment row0 col0 weighted Y = 75/49

moment row0 col0 XY := mul(-6, 3)

moment row0 col0 XY = -18

moment row0 col0 weighted XY := mul(25/49, -18)

moment row0 col0 weighted XY = -450/49

moment row0 col1 weighted X := mul(10/49, -6)

moment row0 col1 weighted X = -60/49

moment row0 col1 weighted Y := mul(10/49, 26)

moment row0 col1 weighted Y = 260/49

moment row0 col1 XY := mul(-6, 26)

moment row0 col1 XY = -156

moment row0 col1 weighted XY := mul(10/49, -156)

moment row0 col1 weighted XY = -1560/49

moment row1 col0 weighted X := mul(10/49, 19)

moment row1 col0 weighted X = 190/49

moment row1 col0 weighted Y := mul(10/49, 3)

moment row1 col0 weighted Y = 30/49

moment row1 col0 XY := mul(19, 3)

moment row1 col0 XY = 57

moment row1 col0 weighted XY := mul(10/49, 57)

moment row1 col0 weighted XY = 570/49

moment row1 col1 weighted X := mul(4/49, 19)

moment row1 col1 weighted X = 76/49

moment row1 col1 weighted Y := mul(4/49, 26)

moment row1 col1 weighted Y = 104/49

moment row1 col1 XY := mul(19, 26)

moment row1 col1 XY = 494

moment row1 col1 weighted XY := mul(4/49, 494)

moment row1 col1 weighted XY = 1976/49

grid E_X := sum(-150/49, -60/49, 190/49, 76/49)

grid E_X = 8/7

grid E_Y := sum(75/49, 260/49, 30/49, 104/49)

grid E_Y = 67/7

grid E_XY := sum(-450/49, -1560/49, 570/49, 1976/49)

grid E_XY = 536/49

grid product of means := mul(8/7, 67/7)

grid product of means = 536/49

grid covariance := sub(536/49, 536/49)

grid covariance = 0

verified independence=是;E_X=8/7;E_Y=67/7;E_XY=536/49;covariance=0

source implication_pass is conjunction(independent,covariance0)=是,not material implication

逐步反向核對

• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid covariance，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid product of means，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_XY，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_Y，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 XY，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 XY，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 XY，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted X，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 XY，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted X，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column1 marginal product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column0 marginal product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column1 marginal，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column0 marginal，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row1 marginal，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row0 marginal，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint grid model whole mass sum，不以小數近似替代。

結論

(是, 8/7, 67/7, 536/49, 0, 是, zero_covariance_converse_not_claimed)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。