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第 14669 題：有限整環

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0028-14669 · q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0019

原題與已知條件

同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-qualification；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,2,1],[0,4,3,1,2],[0,2,1,4,3],[0,1,2,3,4]]}。請依 [n,zero,one,zero_divisor_pairs,domain,classification] 欄序回答。

  • G001 — 同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-qualification；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,2,1],[0,4,3,1,2],[0,2,1,4,3],[0,1,2,3,4]]}。請依 [n,zero,one,zero_divisor_pairs,domain,classification] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 3, 0, 4, 2], [2, 0, 4, 1, 3], [3, 4, 1, 2, 0], [4, 2, 3, 0, 1]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 3, 4, 2, 1], [0, 4, 3, 1, 2], [0, 2, 1, 4, 3], [0, 1, 2, 3, 4]]

操作後

actual additive zero=0;actual multiplicative one=4;additive inverses=[0, 2, 1, 4, 3]

條件：無

所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。

步驟識別與依賴

規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]

操作後

additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是

條件：無

完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。

步驟識別與依賴

規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[1, 1];actual zero=0;product label=3

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[1, 2];actual zero=0;product label=4

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[1, 3];actual zero=0;product label=2

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[1, 4];actual zero=0;product label=1

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[2, 1];actual zero=0;product label=4

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[2, 2];actual zero=0;product label=3

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[2, 3];actual zero=0;product label=1

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[2, 4];actual zero=0;product label=2

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[3, 1];actual zero=0;product label=2

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[3, 2];actual zero=0;product label=1

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[3, 3];actual zero=0;product label=4

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[3, 4];actual zero=0;product label=3

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[4, 1];actual zero=0;product label=1

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[4, 2];actual zero=0;product label=2

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[4, 3];actual zero=0;product label=3

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ordered nonzero labels=[4, 4];actual zero=0;product label=4

操作後

nonzero zero-divisor witness=否

條件：無

完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。

步驟識別與依賴

規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

all ordered nonzero zero-divisor pairs=[]

操作後

integral domain=是;invertibility is a later finite theorem step

條件：無

整環此處是交換含一父環加無非零零因子；非零可逆不是額外定義，而是稍後需保留有限性步驟的結論。

步驟識別與依賴

規則：domain_definition_not_inverse_definition · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 0, 4, [], 是, finite_integral_domain)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 91a874892f6ff749726d317f4f105f1e3445896af97481af6a0d89764d049d20
  • candidate record SHA-256: 5e102c07d2410aba473fc32b4cd7bef1c65e7dbf3a7e3d9d7ad3b45f5653f110
  • semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae
  • question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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