R0028-14671 · q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0021
同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-qualification；資料={"n":4,"addition":[[3,2,1,0],[2,0,3,1],[1,3,0,2],[0,1,2,3]],"multiplication":[[3,0,0,3],[0,1,2,3],[0,2,1,3],[3,3,3,3]]}。請依 [n,zero,one,zero_divisor_pairs,domain,classification] 欄序回答。
G001 — 同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-qualification；資料={"n":4,"addition":[[3,2,1,0],[2,0,3,1],[1,3,0,2],[0,1,2,3]],"multiplication":[[3,0,0,3],[0,1,2,3],[0,2,1,3],[3,3,3,3]]}。請依 [n,zero,one,zero_divisor_pairs,domain,classification] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same carrier Fin(4);addition=[[3, 2, 1, 0], [2, 0, 3, 1], [1, 3, 0, 2], [0, 1, 2, 3]];multiplication=[[3, 0, 0, 3], [0, 1, 2, 3], [0, 2, 1, 3], [3, 3, 3, 3]]
操作後
actual additive zero=3;actual multiplicative one=1;additive inverses=[0, 2, 1, 3]
條件：無
所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。
規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001
操作前
all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]
操作後
additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是
條件：無
完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。
規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
ordered nonzero labels=[0, 0];actual zero=3;product label=3
操作後
nonzero zero-divisor witness=是
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S002
操作前
ordered nonzero labels=[0, 1];actual zero=3;product label=0
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S003
操作前
ordered nonzero labels=[0, 2];actual zero=3;product label=0
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S004
操作前
ordered nonzero labels=[1, 0];actual zero=3;product label=0
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S005
操作前
ordered nonzero labels=[1, 1];actual zero=3;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S006
操作前
ordered nonzero labels=[1, 2];actual zero=3;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S007
操作前
ordered nonzero labels=[2, 0];actual zero=3;product label=0
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S008
操作前
ordered nonzero labels=[2, 1];actual zero=3;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S009
操作前
ordered nonzero labels=[2, 2];actual zero=3;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S010
操作前
all ordered nonzero zero-divisor pairs=[[0, 0]]
操作後
integral domain=否;invertibility is a later finite theorem step
條件：無
整環此處是交換含一父環加無非零零因子；非零可逆不是額外定義，而是稍後需保留有限性步驟的結論。
規則：domain_definition_not_inverse_definition · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, 3, 1, [[0, 0]], 否, commutative_ring_with_zero_divisors)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3cbc33c9f8de7626a13e0e389743100571b54b42e14e9ed57e646b372aeced93candidate record SHA-256: ea2d2b3450b63859c75a3535bd641e1fb8a97d6d1077a87dc97fce65e9c474d6semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209aequestion-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED