R0028-14604 · q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0054
同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-cancellation；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4],[0,2,1,4,3],[0,3,4,2,1],[0,4,3,1,2]],"a":2,"b":2,"c":2}。請依 [a,b,c,ab,ac,premise_equal,cancellation_valid,certificate] 欄序回答。
G001 — 同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-cancellation；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4],[0,2,1,4,3],[0,3,4,2,1],[0,4,3,1,2]],"a":2,"b":2,"c":2}。請依 [a,b,c,ab,ac,premise_equal,cancellation_valid,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 3, 0, 4, 2], [2, 0, 4, 1, 3], [3, 4, 1, 2, 0], [4, 2, 3, 0, 1]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 1, 4, 3], [0, 3, 4, 2, 1], [0, 4, 3, 1, 2]]
操作後
actual additive zero=0;actual multiplicative one=1;additive inverses=[0, 2, 1, 4, 3]
條件：無
所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。
規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001
操作前
all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]
操作後
additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是
條件：無
完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。
規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
ordered nonzero labels=[1, 1];actual zero=0;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S002
操作前
ordered nonzero labels=[1, 2];actual zero=0;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S003
操作前
ordered nonzero labels=[1, 3];actual zero=0;product label=3
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S004
操作前
ordered nonzero labels=[1, 4];actual zero=0;product label=4
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S005
操作前
ordered nonzero labels=[2, 1];actual zero=0;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S006
操作前
ordered nonzero labels=[2, 2];actual zero=0;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S007
操作前
ordered nonzero labels=[2, 3];actual zero=0;product label=4
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S008
操作前
ordered nonzero labels=[2, 4];actual zero=0;product label=3
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S009
操作前
ordered nonzero labels=[3, 1];actual zero=0;product label=3
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S010
操作前
ordered nonzero labels=[3, 2];actual zero=0;product label=4
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S011
操作前
ordered nonzero labels=[3, 3];actual zero=0;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S012
操作前
ordered nonzero labels=[3, 4];actual zero=0;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S013
操作前
ordered nonzero labels=[4, 1];actual zero=0;product label=4
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S014
操作前
ordered nonzero labels=[4, 2];actual zero=0;product label=3
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S015
操作前
ordered nonzero labels=[4, 3];actual zero=0;product label=1
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S016
操作前
ordered nonzero labels=[4, 4];actual zero=0;product label=2
操作後
nonzero zero-divisor witness=否
條件：無
完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。
規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S017
操作前
all ordered nonzero zero-divisor pairs=[]
操作後
integral domain=是;invertibility is a later finite theorem step
條件：無
整環此處是交換含一父環加無非零零因子；非零可逆不是額外定義，而是稍後需保留有限性步驟的結論。
規則：domain_definition_not_inverse_definition · 依賴：G001, S018
操作前
a times b:operation=multiplication;left label=2;right label=2;original row=[0, 2, 1, 4, 3]
操作後
result label=1
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S019
操作前
a times c:operation=multiplication;left label=2;right label=2;original row=[0, 2, 1, 4, 3]
操作後
result label=1
條件：無
按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。
規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S020
操作前
domain qualified;nonzero multiplier=2;actual products ab=1;ac=1
操作後
premise ab=ac=是;if equal then b=c=是
條件：無
若ab=ac，以分配律得a(b−c)=0；a非零且無非零零因子迫使b−c=0，所以b=c。若本題兩乘積不等，蘊涵空泛真，不宣稱此時b=c；零乘數則直接不合協定。
規則：nonzero_domain_cancellation_conditional · 依賴：G001, S021
S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(2, 2, 2, 1, 1, 是, 是, nonzero_cancellation_in_domain)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 84cd1cf84a5d317167369d398c354752840d9ad91685f1c9ca262a99e7a7b9e3candidate record SHA-256: 4cb1df5f10284dd420b99943a2370be6849e9de874b51cf3122de14a3d4b2005semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209aequestion-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED