第 15187 題：有限域

原題與已知條件

完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-qualification；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,2,1,4,3],[0,1,2,3,4],[0,4,3,1,2],[0,3,4,2,1]]}。請依 [n,zero,one,missing_inverses,field] 欄序回答。

• G001 — 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-qualification；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,0,4,2],[2,0,4,1,3],[3,4,1,2,0],[4,2,3,0,1]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,2,1,4,3],[0,1,2,3,4],[0,4,3,1,2],[0,3,4,2,1]]}。請依 [n,zero,one,missing_inverses,field] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

same complete carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 3, 0, 4, 2], [2, 0, 4, 1, 3], [3, 4, 1, 2, 0], [4, 2, 3, 0, 1]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 2, 1, 4, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 4, 3, 1, 2], [0, 3, 4, 2, 1]]

actual zero=0;one=2;additive inverses=[0, 2, 1, 4, 3];additive commute/associate=[是, 是];multiplicative commute/associate=[是, 是];left/right distributive=[是, 是]

element label=0;actual zero=0;one=2;two-sided multiplicative inverse candidates=[]

selected inverse witness=null;nonzero inverse obligation=否

element label=1;actual zero=0;one=2;two-sided multiplicative inverse candidates=[1]

selected inverse witness=1;nonzero inverse obligation=是

element label=2;actual zero=0;one=2;two-sided multiplicative inverse candidates=[2]

selected inverse witness=2;nonzero inverse obligation=是

element label=3;actual zero=0;one=2;two-sided multiplicative inverse candidates=[4]

selected inverse witness=4;nonzero inverse obligation=是

element label=4;actual zero=0;one=2;two-sided multiplicative inverse candidates=[3]

selected inverse witness=3;nonzero inverse obligation=是

逐步反向核對

• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 0, 2, [], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。