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第 15141 題：有限域

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0029-15141 · q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0091

原題與已知條件

完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-finite-domain-theorem；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3,4,1]]}。請依 [n,missing,field,theorem_step,order_boundary] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-finite-domain-theorem；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3,4,1]]}。請依 [n,missing,field,theorem_step,order_boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same complete carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 4, 3, 0, 2], [2, 3, 1, 4, 0], [3, 0, 4, 2, 1], [4, 2, 0, 1, 3]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 3, 4, 1, 2], [0, 4, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3, 4, 1]]

操作後

actual zero=0;one=3;additive inverses=[0, 3, 4, 1, 2];additive commute/associate=[是, 是];multiplicative commute/associate=[是, 是];left/right distributive=[是, 是]

條件：無

即使原始inverse計算器guard較寬，也先獨立核來源英文所宣告的完整交換含一父環，包含所有群／分配公理與不同0、1；不靠名字或只找逆元就跳過。

步驟識別與依賴

規則：field_stated_full_commutative_parent_not_raw_oracle_shortcut · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

element label=0;actual zero=0;one=3;two-sided multiplicative inverse candidates=[]

操作後

selected inverse witness=null;nonzero inverse obligation=否

條件：無

逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。

步驟識別與依賴

規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

element label=1;actual zero=0;one=3;two-sided multiplicative inverse candidates=[1]

操作後

selected inverse witness=1;nonzero inverse obligation=是

條件：無

逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。

步驟識別與依賴

規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

element label=2;actual zero=0;one=3;two-sided multiplicative inverse candidates=[4]

操作後

selected inverse witness=4;nonzero inverse obligation=是

條件：無

逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。

步驟識別與依賴

規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

element label=3;actual zero=0;one=3;two-sided multiplicative inverse candidates=[3]

操作後

selected inverse witness=3;nonzero inverse obligation=是

條件：無

逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。

步驟識別與依賴

規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

element label=4;actual zero=0;one=3;two-sided multiplicative inverse candidates=[2]

操作後

selected inverse witness=2;nonzero inverse obligation=是

條件：無

逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。

步驟識別與依賴

規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

finite commutative parent size=5;all missing nonzero inverse labels=[]

操作後

field qualification=是;finite theorem step=finite_domain_injective_to_surjective_theorem

條件：無

有限整環中非零乘法由消去得單射，再由有限同載體得滿射，one有原像才得逆元。缺逆元是此表未給field資格，不是否定定理；這個有限步不適用任意無限整環。

步驟識別與依賴

規則：finite_domain_field_theorem_not_definition_or_infinite_extension · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

field flag=是;finite carrier size=5

操作後

field_order_prime_power_not_necessarily_prime

條件：無

若已是有限域，特徵為質數p，作其素子域上的有限維向量空間得大小p^k；不把域階誤限質數，也不僅依n是否質數取代完整父表核查。

步驟識別與依賴

規則：finite_field_order_boundary_no_prime_size_shortcut · 依賴：G001, S007

逐步反向核對

  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, [], 是, finite_domain_injective_to_surjective_theorem, field_order_prime_power_not_necessarily_prime)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 21eefa28a72dc67527507c7f01091af8bca2163df5c2c666445f26cfe07abe72
  • candidate record SHA-256: 764d872cfaa71f34fb48de05e22e3ccdd428b6e833794c8e2d068bd928b2754f
  • semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725
  • question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON