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第 15453 題：商集

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0029-15453 · q-20261014-advance-20261030-r04-quotient-set-0028

原題與已知條件

同一完整等價關係的互異classes。操作=quotient-projection；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[1,1],[2,0],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,0],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[4,0],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[5,0],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5]],"element":2}。請依 [element,class] 欄序回答。

  • G001 — 同一完整等價關係的互異classes。操作=quotient-projection；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[1,1],[2,0],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,0],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[4,0],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[5,0],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5]],"element":2}。請依 [element,class] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

complete carrier Fin(6);original relation pairs=[[0, 0], [0, 2], [0, 3], [0, 4], [0, 5], [1, 1], [2, 0], [2, 2], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 0], [3, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 0], [4, 2], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 0], [5, 2], [5, 3], [5, 4], [5, 5]]

操作後

set of pairs=[[0, 0], [0, 2], [0, 3], [0, 4], [0, 5], [1, 1], [2, 0], [2, 2], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 0], [3, 2], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 0], [4, 2], [4, 3], [4, 4], [4, 5], [5, 0], [5, 2], [5, 3], [5, 4], [5, 5]];reflexive/symmetric/transitive=[是, 是, 是]

條件：無

把原pairs按集合語義讀，重複列不改關係；先核自反、對稱、傳遞，不能把非等價關係的連通分量當原關係之商。

步驟識別與依賴

規則：quotient_complete_equivalence_not_connectedness_only · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

least uncovered carrier label=0;all labels related from it=[0, 2, 3, 4, 5]

操作後

next canonical full class=[0, 2, 3, 4, 5];covered labels=[0, 2, 3, 4, 5]

條件：無

類內照原載體遞增列全體元素，類與類依最小未覆蓋元素排序；商元素是整個類，不是只有代表的標籤。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_classes_in_least_representative_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

least uncovered carrier label=1;all labels related from it=[1]

操作後

next canonical full class=[1];covered labels=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

條件：無

類內照原載體遞增列全體元素，類與類依最小未覆蓋元素排序；商元素是整個類，不是只有代表的標籤。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_classes_in_least_representative_order · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

all complete canonical classes=[[0, 2, 3, 4, 5], [1]];original carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

cover whole carrier=是;pairwise disjoint=是;class count=2

條件：無

等價類覆蓋原載體且兩兩不交，各元素恰屬一類；空載體的空族亦保留空覆蓋與不交，不憑類數猜partition。

步驟識別與依賴

規則：quotient_partition_cover_and_disjoint_not_count_only · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

original element=2;canonical quotient elements=[[0, 2, 3, 4, 5], [1]]

操作後

projection sends2 to whole class=[0, 2, 3, 4, 5]

條件：無

自然投影送元素到其全等價類，不是送到類的最小元素，也未給商上的加法乘法。

步驟識別與依賴

規則：quotient_projection_element_to_full_class · 依賴：G001, S004

逐步反向核對

  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, [0, 2, 3, 4, 5])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: aacb3299fdf8f58542cfbc04bf44196e25b5fc84c62cec1c2d8f546abb4e7907
  • candidate record SHA-256: cc2e8656102ae98d73c19f56a085ade28052bb04410092f98600353c2a988f81
  • semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725
  • question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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