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第 15498 題：商集

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0029-15498 · q-20261014-advance-20261030-r04-quotient-set-0098

原題與已知條件

同一完整等價關係的互異classes。操作=quotient-representative；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,2],[2,4],[2,5],[3,3],[4,2],[4,4],[4,5],[5,2],[5,4],[5,5]],"a":4,"b":1}。請依 [a,b,related,class_a,class_b,invariance,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 同一完整等價關係的互異classes。操作=quotient-representative；資料={"n":6,"pairs":[[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,2],[2,4],[2,5],[3,3],[4,2],[4,4],[4,5],[5,2],[5,4],[5,5]],"a":4,"b":1}。請依 [a,b,related,class_a,class_b,invariance,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

complete carrier Fin(6);original relation pairs=[[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1], [2, 2], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [4, 2], [4, 4], [4, 5], [5, 2], [5, 4], [5, 5]]

操作後

set of pairs=[[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1], [2, 2], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [4, 2], [4, 4], [4, 5], [5, 2], [5, 4], [5, 5]];reflexive/symmetric/transitive=[是, 是, 是]

條件：無

把原pairs按集合語義讀，重複列不改關係；先核自反、對稱、傳遞，不能把非等價關係的連通分量當原關係之商。

步驟識別與依賴

規則：quotient_complete_equivalence_not_connectedness_only · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

least uncovered carrier label=0;all labels related from it=[0, 1]

操作後

next canonical full class=[0, 1];covered labels=[0, 1]

條件：無

類內照原載體遞增列全體元素，類與類依最小未覆蓋元素排序；商元素是整個類，不是只有代表的標籤。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_classes_in_least_representative_order · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

least uncovered carrier label=2;all labels related from it=[2, 4, 5]

操作後

next canonical full class=[2, 4, 5];covered labels=[0, 1, 2, 4, 5]

條件：無

類內照原載體遞增列全體元素，類與類依最小未覆蓋元素排序；商元素是整個類，不是只有代表的標籤。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_classes_in_least_representative_order · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

least uncovered carrier label=3;all labels related from it=[3]

操作後

next canonical full class=[3];covered labels=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

條件：無

類內照原載體遞增列全體元素，類與類依最小未覆蓋元素排序；商元素是整個類，不是只有代表的標籤。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_classes_in_least_representative_order · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

all complete canonical classes=[[0, 1], [2, 4, 5], [3]];original carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

cover whole carrier=是;pairwise disjoint=是;class count=3

條件：無

等價類覆蓋原載體且兩兩不交，各元素恰屬一類；空載體的空族亦保留空覆蓋與不交，不憑類數猜partition。

步驟識別與依賴

規則：quotient_partition_cover_and_disjoint_not_count_only · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

original representatives a=4;b=1;related=否;full classes=[[2, 4, 5], [0, 1]]

操作後

related implies same class=是;no_quotient_operation_claim

條件：無

若a~b則兩類相同；不相關時原答案是條件句真，不宣稱兩類相等。這只驗證類的代表無關性，沒有證明任何未定義商運算良定。

步驟識別與依賴

規則：quotient_representative_implication_no_algebra_operation · 依賴：G001, S005

逐步反向核對

  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(4, 1, 否, [2, 4, 5], [0, 1], 是, no_quotient_operation_claim)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: b1def7afc9b38cc7e1d9d47593ffd3d3a7e792bdeb85c3e77dbe39d77b779228
  • candidate record SHA-256: 652b1161cc0ebfa242321ba3cf94c90cba842cb1f596dd66e331564441800e00
  • semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725
  • question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON