R0030-15629 · q-20261014-advance-20261031-r05-graph-coloring-0004
完整有限無向簡單圖與每頂點顏色。操作=coloring-proper-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]],"colors":[3,4,3,4,3,4],"k":2}。請依 [used_colors,conflicts,edge_proper,at_most_k,proper_k_coloring,boundary] 欄序回答。
G001 — 完整有限無向簡單圖與每頂點顏色。操作=coloring-proper-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]],"colors":[3,4,3,4,3,4],"k":2}。請依 [used_colors,conflicts,edge_proper,at_most_k,proper_k_coloring,boundary] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
complete undirected vertex carrier Fin(6);original edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]
操作後
normalized sorted simple edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]];all vertices including isolates=[0, 1, 2, 3, 4, 5]
條件：無
逐邊先排端點再把邊作字典序排序，反向重複仍是同一邊而須拒絕；loop亦拒絕。完整載體包括沒有邊的頂點，不能從邊表遺漏它們。
規則：graph_complete_simple_carrier_normalized_edge_order · 依賴：G001
操作前
colors:normalized edge index=0;edge=[0, 1];endpoint labels=[3, 4]
操作後
different endpoints=是;same-label conflict=否
條件：無
只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。
規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S001
操作前
colors:normalized edge index=1;edge=[1, 2];endpoint labels=[4, 3]
操作後
different endpoints=是;same-label conflict=否
條件：無
只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。
規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S002
操作前
colors:normalized edge index=2;edge=[2, 3];endpoint labels=[3, 4]
操作後
different endpoints=是;same-label conflict=否
條件：無
只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。
規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S003
操作前
colors:normalized edge index=3;edge=[3, 4];endpoint labels=[4, 3]
操作後
different endpoints=是;same-label conflict=否
條件：無
只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。
規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S004
操作前
colors:normalized edge index=4;edge=[4, 5];endpoint labels=[3, 4]
操作後
different endpoints=是;same-label conflict=否
條件：無
只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。
規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S005
操作前
total original vertex colors=[3, 4, 3, 4, 3, 4];all normalized conflicts=[]
操作後
increasing distinct used labels=[3, 4];used count=2;all edges proper=是
條件：無
顏色是名字，使用幾種要數distinct，不用最大標籤加1。只有相鄰同色才衝突，非相鄰重用同色合法。
規則：coloring_distinct_label_count_not_numeric_magnitude · 依賴：G001, S006
操作前
all-edge proper=是;distinct used count=2;original k=2
操作後
at most k=是;proper k-coloring certificate=是;upper_bound_not_exact_optimum
條件：無
proper與用色≤k須同時成立，才給χ(G)≤k。可先把這些標籤重命名到k種顏色，數字名超過k−1不妨礙；沒有較小k不可能的證據，不能報最佳。
規則：coloring_k_bound_conjunction_not_minimum_chromatic_number · 依賴：G001, S007
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([3, 4], [], 是, 是, 是, proper_k_coloring_uses_at_most_k_colors)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 0dad8c6bb7746d922a7286eb7355b5241271225860bdfe538f6f2a17cef1453dcandidate record SHA-256: 35ec5d2f38b33aab51e0c797653b4722038c9b4e7f6fc5376fc6a35437e87f40semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bcquestion-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED