第 33687 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":37,"element":12}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":37,"element":12}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [37, [2, 3, 4, 5, 6]]

derived = [[1, 1, 1, 2, 1], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 12

source roles = [power exponent1, 12, 37]

derived = [0, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(12, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 144

source roles = [power exponent2, 144, 37]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(33, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 396

source roles = [power exponent3, 396, 37]

derived = [10, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(26, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 312

source roles = [power exponent4, 312, 37]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(16, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 192

source roles = [power exponent5, 192, 37]

derived = [5, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(7, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 84

source roles = [power exponent6, 84, 37]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(10, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 120

source roles = [power exponent7, 120, 37]

derived = [3, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(9, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 108

source roles = [power exponent8, 108, 37]

derived = [2, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(34, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 408

source roles = [power exponent9, 408, 37]

derived = [11, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(1, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 12

source roles = [power exponent10, 12, 37]

derived = [0, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(12, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 144

source roles = [power exponent11, 144, 37]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(33, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 396

source roles = [power exponent12, 396, 37]

derived = [10, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(26, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 312

source roles = [power exponent13, 312, 37]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(16, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 192

source roles = [power exponent14, 192, 37]

derived = [5, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(7, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 84

source roles = [power exponent15, 84, 37]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(10, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 120

source roles = [power exponent16, 120, 37]

derived = [3, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(9, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 108

source roles = [power exponent17, 108, 37]

derived = [2, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(34, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 408

source roles = [power exponent18, 408, 37]

derived = [11, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(1, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 12

source roles = [power exponent19, 12, 37]

derived = [0, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(12, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 144

source roles = [power exponent20, 144, 37]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(33, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 396

source roles = [power exponent21, 396, 37]

derived = [10, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(26, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 312

source roles = [power exponent22, 312, 37]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(16, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 192

source roles = [power exponent23, 192, 37]

derived = [5, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(7, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 84

source roles = [power exponent24, 84, 37]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(10, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 120

source roles = [power exponent25, 120, 37]

derived = [3, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(9, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 108

source roles = [power exponent26, 108, 37]

derived = [2, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(34, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 408

source roles = [power exponent27, 408, 37]

derived = [11, 1]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(1, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 12

source roles = [power exponent28, 12, 37]

derived = [0, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(12, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 144

source roles = [power exponent29, 144, 37]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(33, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 396

source roles = [power exponent30, 396, 37]

derived = [10, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(26, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 312

source roles = [power exponent31, 312, 37]

derived = [8, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(16, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 192

source roles = [power exponent32, 192, 37]

derived = [5, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(7, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 84

source roles = [power exponent33, 84, 37]

derived = [2, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(10, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 120

source roles = [power exponent34, 120, 37]

derived = [3, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(9, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 108

source roles = [power exponent35, 108, 37]

derived = [2, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(34, 12)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 408

source roles = [power exponent36, 408, 37]

derived = [11, 1]

source roles = [37, 12, [12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S075 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=24，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=23，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(12, [12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1, 12, 33, 26, 16, 7, 10, 9, 34, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。