第 33688 題：有限域深度

原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":41,"element":13}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

• G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":41,"element":13}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-finite-field

逐步推導

source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]]

derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp]

source roles = [41, [2, 3, 4, 5, 6]]

derived = [[1, 2, 1, 1, 5], 是]

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 13

source roles = [power exponent1, 13, 41]

derived = [0, 13]

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(13, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 169

source roles = [power exponent2, 169, 41]

derived = [4, 5]

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(5, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 65

source roles = [power exponent3, 65, 41]

derived = [1, 24]

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(24, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 312

source roles = [power exponent4, 312, 41]

derived = [7, 25]

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(25, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 325

source roles = [power exponent5, 325, 41]

derived = [7, 38]

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(38, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 494

source roles = [power exponent6, 494, 41]

derived = [12, 2]

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(2, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 26

source roles = [power exponent7, 26, 41]

derived = [0, 26]

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(26, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 338

source roles = [power exponent8, 338, 41]

derived = [8, 10]

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(10, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 130

source roles = [power exponent9, 130, 41]

derived = [3, 7]

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(7, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 91

source roles = [power exponent10, 91, 41]

derived = [2, 9]

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(9, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 117

source roles = [power exponent11, 117, 41]

derived = [2, 35]

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(35, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 455

source roles = [power exponent12, 455, 41]

derived = [11, 4]

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(4, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 52

source roles = [power exponent13, 52, 41]

derived = [1, 11]

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(11, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 143

source roles = [power exponent14, 143, 41]

derived = [3, 20]

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(20, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 260

source roles = [power exponent15, 260, 41]

derived = [6, 14]

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(14, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 182

source roles = [power exponent16, 182, 41]

derived = [4, 18]

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(18, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 234

source roles = [power exponent17, 234, 41]

derived = [5, 29]

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(29, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 377

source roles = [power exponent18, 377, 41]

derived = [9, 8]

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(8, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 104

source roles = [power exponent19, 104, 41]

derived = [2, 22]

Field ORIGINAL previous power times element k=20 := mul(22, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=20 = 286

source roles = [power exponent20, 286, 41]

derived = [6, 40]

Field ORIGINAL previous power times element k=21 := mul(40, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=21 = 520

source roles = [power exponent21, 520, 41]

derived = [12, 28]

Field ORIGINAL previous power times element k=22 := mul(28, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=22 = 364

source roles = [power exponent22, 364, 41]

derived = [8, 36]

Field ORIGINAL previous power times element k=23 := mul(36, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=23 = 468

source roles = [power exponent23, 468, 41]

derived = [11, 17]

Field ORIGINAL previous power times element k=24 := mul(17, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=24 = 221

source roles = [power exponent24, 221, 41]

derived = [5, 16]

Field ORIGINAL previous power times element k=25 := mul(16, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=25 = 208

source roles = [power exponent25, 208, 41]

derived = [5, 3]

Field ORIGINAL previous power times element k=26 := mul(3, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=26 = 39

source roles = [power exponent26, 39, 41]

derived = [0, 39]

Field ORIGINAL previous power times element k=27 := mul(39, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=27 = 507

source roles = [power exponent27, 507, 41]

derived = [12, 15]

Field ORIGINAL previous power times element k=28 := mul(15, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=28 = 195

source roles = [power exponent28, 195, 41]

derived = [4, 31]

Field ORIGINAL previous power times element k=29 := mul(31, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=29 = 403

source roles = [power exponent29, 403, 41]

derived = [9, 34]

Field ORIGINAL previous power times element k=30 := mul(34, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=30 = 442

source roles = [power exponent30, 442, 41]

derived = [10, 32]

Field ORIGINAL previous power times element k=31 := mul(32, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=31 = 416

source roles = [power exponent31, 416, 41]

derived = [10, 6]

Field ORIGINAL previous power times element k=32 := mul(6, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=32 = 78

source roles = [power exponent32, 78, 41]

derived = [1, 37]

Field ORIGINAL previous power times element k=33 := mul(37, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=33 = 481

source roles = [power exponent33, 481, 41]

derived = [11, 30]

Field ORIGINAL previous power times element k=34 := mul(30, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=34 = 390

source roles = [power exponent34, 390, 41]

derived = [9, 21]

Field ORIGINAL previous power times element k=35 := mul(21, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=35 = 273

source roles = [power exponent35, 273, 41]

derived = [6, 27]

Field ORIGINAL previous power times element k=36 := mul(27, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=36 = 351

source roles = [power exponent36, 351, 41]

derived = [8, 23]

Field ORIGINAL previous power times element k=37 := mul(23, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=37 = 299

source roles = [power exponent37, 299, 41]

derived = [7, 12]

Field ORIGINAL previous power times element k=38 := mul(12, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=38 = 156

source roles = [power exponent38, 156, 41]

derived = [3, 33]

Field ORIGINAL previous power times element k=39 := mul(33, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=39 = 429

source roles = [power exponent39, 429, 41]

derived = [10, 19]

Field ORIGINAL previous power times element k=40 := mul(19, 13)

Field ORIGINAL previous power times element k=40 = 247

source roles = [power exponent40, 247, 41]

derived = [6, 1]

source roles = [41, 13, [13, 5, 24, 25, 38, 2, 26, 10, 7, 9, 35, 4, 11, 20, 14, 18, 29, 8, 22, 40, 28, 36, 17, 16, 3, 39, 15, 31, 34, 32, 6, 37, 30, 21, 27, 23, 12, 33, 19, 1]]

derived = [1, 是]

逐步反向核對

• S083 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S082 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=40，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=39，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=38，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=37，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=36，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=35，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=34，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=33，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=32，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=31，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=30，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=29，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=28，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=27，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=26，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=25，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=24，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=23，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=22，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=21，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=20，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。

結論

(13, [13, 5, 24, 25, 38, 2, 26, 10, 7, 9, 35, 4, 11, 20, 14, 18, 29, 8, 22, 40, 28, 36, 17, 16, 3, 39, 15, 31, 34, 32, 6, 37, 30, 21, 27, 23, 12, 33, 19, 1], 1, 是, nonzero_multiplicative_group_cycle)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。