R0066-33651 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0076
完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":2,"element":0}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。
G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":2,"element":0}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]
操作後
derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [2, []]
操作後
derived = [[], 是]
條件：無
完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。
規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 0)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 0
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [power exponent1, 0, 2]
操作後
derived = [0, 0]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S003
操作前
Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(0, 0)
操作後
Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 0
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [power exponent2, 0, 2]
操作後
derived = [0, 0]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [2, 0, [0, 0]]
操作後
derived = [0, 是]
條件：無
逐乘核element^p=element於此Z_p，零元素也允許。一般擴張域的Frobenius未必逐點固定，不能擴大本題的結論。
規則：Field_FROBENIUS_prime_field_INCLUDES_zero · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(0, 2, 0, 是, Frobenius_on_prime_field)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: b3a482f5046e1c7f477daf538e4cddc0418b136ad6f536698e2bb06c756ae341candidate record SHA-256: a2e2819f4730fcd9045b4a5eeab8192aa67265f1aad1141946e3f56ed3921e2csemantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED