R0031-16111 · q-20261014-advance-20261101-r03-open-cover-and-subcover-0011
完整有限拓撲、目標集合與原始cover family。操作=cover-audit；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,2],[0,2,4],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"target":[0,1,2,4],"cover":[[0,2],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]]}。請依 [invalid_open_indexes,covered_union,covers_target,valid_open_cover] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲、目標集合與原始cover family。操作=cover-audit；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,2],[0,2,4],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]],"target":[0,1,2,4],"cover":[[0,2],[0,1,2,4],[0,1,2,3,4]]}。請依 [invalid_open_indexes,covered_union,covers_target,valid_open_cover] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
same finite carrier Fin(5);complete original ordered topology=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
unique empty and whole opens=是;all ordered open pairs=36;first union closure failure=null;first intersection closure failure=null
條件：無
先核子集表示、空集與全集、全部兩開集的聯／交仍開。因拓撲族本身有限，任意聯集只含有限種不同開集，反覆二元聯封閉便涵蓋它；有限交亦由二元交與全集得到。未供度量，不引入距離。
規則：cover_qualified_complete_topology_no_silent_metric · 依賴：G001
操作前
original cover family index=0;member=[0, 2];complete same topology=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原始索引核開性，相同集合可以在不同索引重複；不能去重改題，也不能因它沒被選入就略過其非開性。
規則：cover_every_original_index_open_including_unused_members · 依賴：G001, S001
操作前
original cover family index=1;member=[0, 1, 2, 4];complete same topology=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原始索引核開性，相同集合可以在不同索引重複；不能去重改題，也不能因它沒被選入就略過其非開性。
規則：cover_every_original_index_open_including_unused_members · 依賴：G001, S002
操作前
original cover family index=2;member=[0, 1, 2, 3, 4];complete same topology=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
original member open=是
條件：無
逐原始索引核開性，相同集合可以在不同索引重複；不能去重改題，也不能因它沒被選入就略過其非開性。
規則：cover_every_original_index_open_including_unused_members · 依賴：G001, S003
操作前
same target=[0, 1, 2, 4];union of ALL original members=[0, 1, 2, 3, 4];nonopen original indices=[]
操作後
covers target=是;whole original open cover valid=是
條件：無
開性與覆蓋目標是獨立義務，聯集可超過目標；只要包含即可，不要求聯集等於目標。兩者同時成立才核可原cover。
規則：cover_openness_and_target_coverage_separate_conjunction · 依賴：G001, S004
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([], [0, 1, 2, 3, 4], 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: e6d6a72196f81a3bdb8aa9db0949b2c4059e4ed7098b77eb31101c3433ff850ccandidate record SHA-256: 71f17eb19295db05a1911523dc78aa4e3220b124220500dddc8233d712b5a44esemantic review receipt SHA-256: 55bb21783e2125ecf1e67e42f83fd25bec0ccd493f911f4bb937a5e9d6f9369aquestion-first witness SHA-256: 754ddf2a6039c5ef4aae78a538c6e9a1e9a58d4825aee194e869a27b8a4c95bbLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED