第 120 題：Bayes定理

原題與已知條件

完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-two-event-reversal；資料={"masses":[[1,27],[1,27],[1,27],[24,27]],"hypothesis":[0,1],"evidence":[0,2]}。請依 [prior,likelihood,evidence_mass,joint,posterior,boundary] 欄序回答。

• G001 — 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-two-event-reversal；資料={"masses":[[1,27],[1,27],[1,27],[24,27]],"hypothesis":[0,1],"evidence":[0,2]}。請依 [prior,likelihood,evidence_mass,joint,posterior,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

使用同一完整有限機率分布，兩個條件事件質量都嚴格為正。

• mko-bayes-theorem

逐步推導

P(Ω) := sum(1/27, 1/27, 1/27, 8/9)

P(Ω) = 1

H=[0, 1]; E=[0, 2]

H∩E=[0]

P(H) := sum(1/27, 1/27)

P(H) = 2/27

P(E) := sum(1/27, 1/27)

P(E) = 2/27

P(H∩E) := sum(1/27)

P(H∩E) = 1/27

P(E|H) := div(1/27, 2/27)

P(E|H) = 1/2

P(E|H)·P(H) := mul(1/2, 2/27)

P(E|H)·P(H) = 1/27

P(H|E) := div(1/27, 2/27)

P(H|E) = 1/2

P(H|E)=1/2; P(H∩E)=P(E|H)P(H)

P(H|E)=P(E|H)P(H)/P(E)=1/2

P(H|E)·P(E) := mul(1/2, 2/27)

P(H|E)·P(E) = 1/27

probability identity

no causal direction has been established

逐步反向核對

• S011 · premise_and_result_audit — 若條件事件質量為 0，須保留未定義而不是計算 0/0。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H|E)·P(E)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 條件機率反轉不是把兩個符號交換後保留原分母。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H|E)，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H)·P(H)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H)，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H∩E)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E)，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H)，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 不是把兩事件機率直接相乘；尚未給獨立性。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(Ω)，不以小數近似替代。

結論

(2/27, 1/2, 2/27, 1/27, 1/2, not_causal)

P(H|E)=1/2；完整答案亦保留 prior、likelihood、evidence 與 joint。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。