R0033-17314 · q-20261014-advance-20261103-r05-connected-topological-space-0039
完整有限拓撲與全部clopen/separation候選。操作=connected-clopen-witness；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,3],[0,1,3],[0,1,3,4],[0,1,2,3,4]],"subset":[0,3]}。請依 [subset,complement,clopen,nontrivial,disconnects,certificate] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲與全部clopen/separation候選。操作=connected-clopen-witness；資料={"n":5,"topology":[[],[0],[0,3],[0,1,3],[0,1,3,4],[0,1,2,3,4]],"subset":[0,3]}。請依 [subset,complement,clopen,nontrivial,disconnects,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
ACTUAL carrier Fin(5);original ordered complete topology=[[], [0], [0, 3], [0, 1, 3], [0, 1, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4]]
操作後
unique empty/whole opens present;empty carrier allowed;first union failure=null;first intersection failure=null
條件：無
n可為0；那時空集與全集是同一個開集，不要求兩個不同集合。逐原子集與全部二元聯／交核拓撲；有限族給任意聯封閉。實際空間由這份資料固定，不由reference label改寫。
規則：connected_actual_complete_topology_including_empty_carrier · 依賴：G001
操作前
original open index=0;open=[];ACTUAL same-carrier complement=[0, 1, 2, 3, 4]
操作後
complement open=是;nonempty proper subset=否;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S001
操作前
original open index=1;open=[0];ACTUAL same-carrier complement=[1, 2, 3, 4]
操作後
complement open=否;nonempty proper subset=是;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S002
操作前
original open index=2;open=[0, 3];ACTUAL same-carrier complement=[1, 2, 4]
操作後
complement open=否;nonempty proper subset=是;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S003
操作前
original open index=3;open=[0, 1, 3];ACTUAL same-carrier complement=[2, 4]
操作後
complement open=否;nonempty proper subset=是;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S004
操作前
original open index=4;open=[0, 1, 3, 4];ACTUAL same-carrier complement=[2]
操作後
complement open=否;nonempty proper subset=是;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S005
操作前
original open index=5;open=[0, 1, 2, 3, 4];ACTUAL same-carrier complement=[]
操作後
complement open=是;nonempty proper subset=否;nontrivial clopen obstruction=否
條件：無
原集合已開，再核補集開才是clopen；且必非空非全集才給分離。按拓撲原序列全體，不能由一個失敗候選推全域connected。
規則：connected_every_actual_open_complement_not_selected_samples · 依賴：G001, S006
操作前
ALL actual clopen sets=[[], [0, 1, 2, 3, 4]];ALL nontrivial clopen sets=[]
操作後
a nontrivial clopen S gives separation(S,X minus S);a separation by disjoint nonempty opens gives such a clopen S;actual connected iff no such set
條件：無
正向補集開且兩邊非空，互斥並聯為全集；反向分離兩開集互為補集，故其中一個是非平凡clopen。完整有限拓撲已逐項檢完，才可排除全部分離；不是未給圖的graph connectivity。
規則：connected_clopen_separation_equivalence_full_finite_exhaustion · 依賴：G001, S007
操作前
selected ACTUAL subset=[0, 3];complement=[1, 2, 4];both open=否;nonempty proper=是
操作後
selected witness disconnects=否;nontrivial_clopen_witness
條件：無
開閉還須非平凡才否證connected；空集、全集即使clopen也不是分離見證。失敗旗標只說此選取不成見證，與上面另作的全體核查分開。
規則：connected_selected_clopen_needs_nontriviality · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([0, 3], [1, 2, 4], 否, 是, 否, nontrivial_clopen_witness)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: f165c4f1ff0c4dcd1736a0cc74b6e1925558f44c0b81c1f0ea990c3c8389a524candidate record SHA-256: 840a3f6e0e003861139b820bd0614941d880f3992d6bee017da4a038c35a625asemantic review receipt SHA-256: 4a0957a15bb33fbe5f663e37a8babf46ab5a291eb5d1dfa3bf9045204cd43ec3question-first witness SHA-256: 22a8506bcfa34c503216083d1a8e813d61aad22dbc81589c0d41089c528a7f93Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED