第 339 題：模反元素

原題與已知條件

整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-existence；資料={"a":3,"n":40}。請依 [a,n,gcd,exists,inverse] 欄序回答。

• G001 — 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-existence；資料={"a":3,"n":40}。請依 [a,n,gcd,exists,inverse] 欄序回答。

定義與適用範圍

整數 a、模數 n≥2；逆元存在恰當 gcd(a,n)=1，代表元正規化到 [0,n)。

• mko-modular-inverse

逐步推導

a=3; n=40≥2

compute gcd and a Bezout certificate before inversion

divide 3 by 40

3=0·40+3

divide 40 by 3

40=13·3+1

divide 3 by 1

3=3·1+0

a·x := mul(3, -13)

a·x = -39

n·y := mul(40, 1)

n·y = 40

Bezout value := sum(-39, 40)

Bezout value = 1

3·(-13)+40·(1)=1

inverse representative=27; 3·27≡1 (mod 40)

逐步反向核對

• S008 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bezout value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 n·y，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S003 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S002 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S001 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。

結論

(3, 40, 1, 是, 27)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。