第 395 題：模反元素

原題與已知條件

整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-nonunit-boundary；資料={"a":21,"n":42}。請依 [a,n,gcd,inverse,exists,boundary] 欄序回答。

• G001 — 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-nonunit-boundary；資料={"a":21,"n":42}。請依 [a,n,gcd,inverse,exists,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

gcd(a,n)>1 時共同因數整除 au+nv，不可能等於 1，故沒有逆元；null 表示不存在。

• mko-modular-inverse

逐步推導

a=21; n=42≥2

compute gcd and a Bezout certificate before inversion

divide 21 by 42

21=0·42+21

divide 42 by 21

42=2·21+0

a·x := mul(21, 1)

a·x = 21

n·y := mul(42, 0)

n·y = 0

Bezout value := sum(21, 0)

Bezout value = 21

gcd(21,42)=21>1

no u can satisfy a·u≡1 (mod n)

inverse does not exist

inverse field=null; exists=false

逐步反向核對

• S008 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S007 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bezout value，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 n·y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S002 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。
• S001 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。

結論

(21, 42, 21, null, 否, nonunit_has_no_modular_inverse)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。