第 18764 題：對偶向量空間

原題與已知條件

有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-functional-evaluation；資料={"coefficients":[14,-1],"vector":[2,16]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-functional-evaluation；資料={"coefficients":[14,-1],"vector":[2,16]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-dual-vector-space

逐步推導

source operation=dual-functional-evaluation;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[coefficients, vector, value, boundary]

fixed original covector ROW=[14, -1];coordinate dimension=2

define phi(x)=sum_j row[j]*x[j] for EVERY real coordinate vector x;finite distributivity gives phi(alpha*u+beta*v)=alpha*phi(u)+beta*phi(v)

dual functional original evaluation coordinate0 product := mul(14, 2)

dual functional original evaluation coordinate0 product = 28

dual functional original evaluation coordinate1 product := mul(-1, 16)

dual functional original evaluation coordinate1 product = -16

dual functional original evaluation complete sum := sum(28, -16)

dual functional original evaluation complete sum = 12

逐步反向核對

• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual functional original evaluation complete sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual functional original evaluation coordinate1 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual functional original evaluation coordinate0 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([14, -1], [2, 16], 12, linear_functional_not_primal_vector)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。