第 18835 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1333,"b":106}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1333,"b":106}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-division-chain;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[division_chain, gcd, chain_valid, certificate]

original signed inputs a=1333,b=106

initial nonnegative chain values=[1333, 106];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1333, 106)

Euclid step0 exact ratio = 1333/106

Euclid step0 quotient times divisor := mul(12, 106)

Euclid step0 quotient times divisor = 1272

Euclid step0 remainder := sub(1333, 1272)

Euclid step0 remainder = 61

step=0;left=1333;positive right=106;exact ratio=1333/106;floor quotient=12

left=right*q+r with r=61 in[0,106);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(106, 61)

Euclid step1 exact ratio = 106/61

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 61)

Euclid step1 quotient times divisor = 61

Euclid step1 remainder := sub(106, 61)

Euclid step1 remainder = 45

step=1;left=106;positive right=61;exact ratio=106/61;floor quotient=1

left=right*q+r with r=45 in[0,61);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(61, 45)

Euclid step2 exact ratio = 61/45

Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 45)

Euclid step2 quotient times divisor = 45

Euclid step2 remainder := sub(61, 45)

Euclid step2 remainder = 16

step=2;left=61;positive right=45;exact ratio=61/45;floor quotient=1

left=right*q+r with r=16 in[0,45);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(45, 16)

Euclid step3 exact ratio = 45/16

Euclid step3 quotient times divisor := mul(2, 16)

Euclid step3 quotient times divisor = 32

Euclid step3 remainder := sub(45, 32)

Euclid step3 remainder = 13

step=3;left=45;positive right=16;exact ratio=45/16;floor quotient=2

left=right*q+r with r=13 in[0,16);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 exact ratio := div(16, 13)

Euclid step4 exact ratio = 16/13

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 13)

Euclid step4 quotient times divisor = 13

Euclid step4 remainder := sub(16, 13)

Euclid step4 remainder = 3

step=4;left=16;positive right=13;exact ratio=16/13;floor quotient=1

left=right*q+r with r=3 in[0,13);gcd pair=[1, 1]

Euclid step5 exact ratio := div(13, 3)

Euclid step5 exact ratio = 13/3

Euclid step5 quotient times divisor := mul(4, 3)

Euclid step5 quotient times divisor = 12

Euclid step5 remainder := sub(13, 12)

Euclid step5 remainder = 1

step=5;left=13;positive right=3;exact ratio=13/3;floor quotient=4

left=right*q+r with r=1 in[0,3);gcd pair=[1, 1]

Euclid step6 exact ratio := div(3, 1)

Euclid step6 exact ratio = 3

Euclid step6 quotient times divisor := mul(3, 1)

Euclid step6 quotient times divisor = 3

Euclid step6 remainder := sub(3, 3)

Euclid step6 remainder = 0

step=6;left=3;positive right=1;exact ratio=3;floor quotient=3

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1333, 106, 12, 61], [106, 61, 1, 45], [61, 45, 1, 16], [45, 16, 2, 13], [16, 13, 1, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1333, 106, 12, 61], [106, 61, 1, 45], [61, 45, 1, 16], [45, 16, 2, 13], [16, 13, 1, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]], 1, 是, exact_quotient_remainder_and_strict_descent)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。