第 18837 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1407,"b":108}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1407,"b":108}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-division-chain;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[division_chain, gcd, chain_valid, certificate]

original signed inputs a=1407,b=108

initial nonnegative chain values=[1407, 108];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1407, 108)

Euclid step0 exact ratio = 469/36

Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 108)

Euclid step0 quotient times divisor = 1404

Euclid step0 remainder := sub(1407, 1404)

Euclid step0 remainder = 3

step=0;left=1407;positive right=108;exact ratio=469/36;floor quotient=13

left=right*q+r with r=3 in[0,108);gcd pair=[3, 3]

Euclid step1 exact ratio := div(108, 3)

Euclid step1 exact ratio = 36

Euclid step1 quotient times divisor := mul(36, 3)

Euclid step1 quotient times divisor = 108

Euclid step1 remainder := sub(108, 108)

Euclid step1 remainder = 0

step=1;left=108;positive right=3;exact ratio=36;floor quotient=36

left=right*q+r with r=0 in[0,3);gcd pair=[3, 3]

complete division rows=[[1407, 108, 13, 3], [108, 3, 36, 0]];terminal pair=[3, 0]

gcd(a,b)=gcd(3,0)=3;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1407, 108, 13, 3], [108, 3, 36, 0]], 3, 是, exact_quotient_remainder_and_strict_descent)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。