第 18838 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1444,"b":109}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1444,"b":109}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-division-chain;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[division_chain, gcd, chain_valid, certificate]

original signed inputs a=1444,b=109

initial nonnegative chain values=[1444, 109];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1444, 109)

Euclid step0 exact ratio = 1444/109

Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 109)

Euclid step0 quotient times divisor = 1417

Euclid step0 remainder := sub(1444, 1417)

Euclid step0 remainder = 27

step=0;left=1444;positive right=109;exact ratio=1444/109;floor quotient=13

left=right*q+r with r=27 in[0,109);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(109, 27)

Euclid step1 exact ratio = 109/27

Euclid step1 quotient times divisor := mul(4, 27)

Euclid step1 quotient times divisor = 108

Euclid step1 remainder := sub(109, 108)

Euclid step1 remainder = 1

step=1;left=109;positive right=27;exact ratio=109/27;floor quotient=4

left=right*q+r with r=1 in[0,27);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(27, 1)

Euclid step2 exact ratio = 27

Euclid step2 quotient times divisor := mul(27, 1)

Euclid step2 quotient times divisor = 27

Euclid step2 remainder := sub(27, 27)

Euclid step2 remainder = 0

step=2;left=27;positive right=1;exact ratio=27;floor quotient=27

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1444, 109, 13, 27], [109, 27, 4, 1], [27, 1, 27, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1444, 109, 13, 27], [109, 27, 4, 1], [27, 1, 27, 0]], 1, 是, exact_quotient_remainder_and_strict_descent)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。