第 18839 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1481,"b":110}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-division-chain；資料={"a":1481,"b":110}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-division-chain;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[division_chain, gcd, chain_valid, certificate]

original signed inputs a=1481,b=110

initial nonnegative chain values=[1481, 110];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1481, 110)

Euclid step0 exact ratio = 1481/110

Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 110)

Euclid step0 quotient times divisor = 1430

Euclid step0 remainder := sub(1481, 1430)

Euclid step0 remainder = 51

step=0;left=1481;positive right=110;exact ratio=1481/110;floor quotient=13

left=right*q+r with r=51 in[0,110);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(110, 51)

Euclid step1 exact ratio = 110/51

Euclid step1 quotient times divisor := mul(2, 51)

Euclid step1 quotient times divisor = 102

Euclid step1 remainder := sub(110, 102)

Euclid step1 remainder = 8

step=1;left=110;positive right=51;exact ratio=110/51;floor quotient=2

left=right*q+r with r=8 in[0,51);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(51, 8)

Euclid step2 exact ratio = 51/8

Euclid step2 quotient times divisor := mul(6, 8)

Euclid step2 quotient times divisor = 48

Euclid step2 remainder := sub(51, 48)

Euclid step2 remainder = 3

step=2;left=51;positive right=8;exact ratio=51/8;floor quotient=6

left=right*q+r with r=3 in[0,8);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(8, 3)

Euclid step3 exact ratio = 8/3

Euclid step3 quotient times divisor := mul(2, 3)

Euclid step3 quotient times divisor = 6

Euclid step3 remainder := sub(8, 6)

Euclid step3 remainder = 2

step=3;left=8;positive right=3;exact ratio=8/3;floor quotient=2

left=right*q+r with r=2 in[0,3);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 exact ratio := div(3, 2)

Euclid step4 exact ratio = 3/2

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 2)

Euclid step4 quotient times divisor = 2

Euclid step4 remainder := sub(3, 2)

Euclid step4 remainder = 1

step=4;left=3;positive right=2;exact ratio=3/2;floor quotient=1

left=right*q+r with r=1 in[0,2);gcd pair=[1, 1]

Euclid step5 exact ratio := div(2, 1)

Euclid step5 exact ratio = 2

Euclid step5 quotient times divisor := mul(2, 1)

Euclid step5 quotient times divisor = 2

Euclid step5 remainder := sub(2, 2)

Euclid step5 remainder = 0

step=5;left=2;positive right=1;exact ratio=2;floor quotient=2

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1481, 110, 13, 51], [110, 51, 2, 8], [51, 8, 6, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1481, 110, 13, 51], [110, 51, 2, 8], [51, 8, 6, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]], 1, 是, exact_quotient_remainder_and_strict_descent)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。