第 18852 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1037,"b":98}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1037,"b":98}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1037,b=98

initial nonnegative chain values=[1037, 98];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1037, 98)

Euclid step0 exact ratio = 1037/98

Euclid step0 quotient times divisor := mul(10, 98)

Euclid step0 quotient times divisor = 980

Euclid step0 remainder := sub(1037, 980)

Euclid step0 remainder = 57

step=0;left=1037;positive right=98;exact ratio=1037/98;floor quotient=10

left=right*q+r with r=57 in[0,98);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(98, 57)

Euclid step1 exact ratio = 98/57

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 57)

Euclid step1 quotient times divisor = 57

Euclid step1 remainder := sub(98, 57)

Euclid step1 remainder = 41

step=1;left=98;positive right=57;exact ratio=98/57;floor quotient=1

left=right*q+r with r=41 in[0,57);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(57, 41)

Euclid step2 exact ratio = 57/41

Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 41)

Euclid step2 quotient times divisor = 41

Euclid step2 remainder := sub(57, 41)

Euclid step2 remainder = 16

step=2;left=57;positive right=41;exact ratio=57/41;floor quotient=1

left=right*q+r with r=16 in[0,41);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(41, 16)

Euclid step3 exact ratio = 41/16

Euclid step3 quotient times divisor := mul(2, 16)

Euclid step3 quotient times divisor = 32

Euclid step3 remainder := sub(41, 32)

Euclid step3 remainder = 9

step=3;left=41;positive right=16;exact ratio=41/16;floor quotient=2

left=right*q+r with r=9 in[0,16);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 exact ratio := div(16, 9)

Euclid step4 exact ratio = 16/9

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 9)

Euclid step4 quotient times divisor = 9

Euclid step4 remainder := sub(16, 9)

Euclid step4 remainder = 7

step=4;left=16;positive right=9;exact ratio=16/9;floor quotient=1

left=right*q+r with r=7 in[0,9);gcd pair=[1, 1]

Euclid step5 exact ratio := div(9, 7)

Euclid step5 exact ratio = 9/7

Euclid step5 quotient times divisor := mul(1, 7)

Euclid step5 quotient times divisor = 7

Euclid step5 remainder := sub(9, 7)

Euclid step5 remainder = 2

step=5;left=9;positive right=7;exact ratio=9/7;floor quotient=1

left=right*q+r with r=2 in[0,7);gcd pair=[1, 1]

Euclid step6 exact ratio := div(7, 2)

Euclid step6 exact ratio = 7/2

Euclid step6 quotient times divisor := mul(3, 2)

Euclid step6 quotient times divisor = 6

Euclid step6 remainder := sub(7, 6)

Euclid step6 remainder = 1

step=6;left=7;positive right=2;exact ratio=7/2;floor quotient=3

left=right*q+r with r=1 in[0,2);gcd pair=[1, 1]

Euclid step7 exact ratio := div(2, 1)

Euclid step7 exact ratio = 2

Euclid step7 quotient times divisor := mul(2, 1)

Euclid step7 quotient times divisor = 2

Euclid step7 remainder := sub(2, 2)

Euclid step7 remainder = 0

step=7;left=2;positive right=1;exact ratio=2;floor quotient=2

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1037, 98, 10, 57], [98, 57, 1, 41], [57, 41, 1, 16], [41, 16, 2, 9], [16, 9, 1, 7], [9, 7, 1, 2], [7, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 remainder，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 exact ratio，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]], 1, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。