第 18853 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1074,"b":99}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1074,"b":99}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1074,b=99

initial nonnegative chain values=[1074, 99];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1074, 99)

Euclid step0 exact ratio = 358/33

Euclid step0 quotient times divisor := mul(10, 99)

Euclid step0 quotient times divisor = 990

Euclid step0 remainder := sub(1074, 990)

Euclid step0 remainder = 84

step=0;left=1074;positive right=99;exact ratio=358/33;floor quotient=10

left=right*q+r with r=84 in[0,99);gcd pair=[3, 3]

Euclid step1 exact ratio := div(99, 84)

Euclid step1 exact ratio = 33/28

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 84)

Euclid step1 quotient times divisor = 84

Euclid step1 remainder := sub(99, 84)

Euclid step1 remainder = 15

step=1;left=99;positive right=84;exact ratio=33/28;floor quotient=1

left=right*q+r with r=15 in[0,84);gcd pair=[3, 3]

Euclid step2 exact ratio := div(84, 15)

Euclid step2 exact ratio = 28/5

Euclid step2 quotient times divisor := mul(5, 15)

Euclid step2 quotient times divisor = 75

Euclid step2 remainder := sub(84, 75)

Euclid step2 remainder = 9

step=2;left=84;positive right=15;exact ratio=28/5;floor quotient=5

left=right*q+r with r=9 in[0,15);gcd pair=[3, 3]

Euclid step3 exact ratio := div(15, 9)

Euclid step3 exact ratio = 5/3

Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 9)

Euclid step3 quotient times divisor = 9

Euclid step3 remainder := sub(15, 9)

Euclid step3 remainder = 6

step=3;left=15;positive right=9;exact ratio=5/3;floor quotient=1

left=right*q+r with r=6 in[0,9);gcd pair=[3, 3]

Euclid step4 exact ratio := div(9, 6)

Euclid step4 exact ratio = 3/2

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 6)

Euclid step4 quotient times divisor = 6

Euclid step4 remainder := sub(9, 6)

Euclid step4 remainder = 3

step=4;left=9;positive right=6;exact ratio=3/2;floor quotient=1

left=right*q+r with r=3 in[0,6);gcd pair=[3, 3]

Euclid step5 exact ratio := div(6, 3)

Euclid step5 exact ratio = 2

Euclid step5 quotient times divisor := mul(2, 3)

Euclid step5 quotient times divisor = 6

Euclid step5 remainder := sub(6, 6)

Euclid step5 remainder = 0

step=5;left=6;positive right=3;exact ratio=2;floor quotient=2

left=right*q+r with r=0 in[0,3);gcd pair=[3, 3]

complete division rows=[[1074, 99, 10, 84], [99, 84, 1, 15], [84, 15, 5, 9], [15, 9, 1, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal pair=[3, 0]

gcd(a,b)=gcd(3,0)=3;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3]], 3, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。