第 18855 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1148,"b":101}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1148,"b":101}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1148,b=101

initial nonnegative chain values=[1148, 101];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1148, 101)

Euclid step0 exact ratio = 1148/101

Euclid step0 quotient times divisor := mul(11, 101)

Euclid step0 quotient times divisor = 1111

Euclid step0 remainder := sub(1148, 1111)

Euclid step0 remainder = 37

step=0;left=1148;positive right=101;exact ratio=1148/101;floor quotient=11

left=right*q+r with r=37 in[0,101);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(101, 37)

Euclid step1 exact ratio = 101/37

Euclid step1 quotient times divisor := mul(2, 37)

Euclid step1 quotient times divisor = 74

Euclid step1 remainder := sub(101, 74)

Euclid step1 remainder = 27

step=1;left=101;positive right=37;exact ratio=101/37;floor quotient=2

left=right*q+r with r=27 in[0,37);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(37, 27)

Euclid step2 exact ratio = 37/27

Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 27)

Euclid step2 quotient times divisor = 27

Euclid step2 remainder := sub(37, 27)

Euclid step2 remainder = 10

step=2;left=37;positive right=27;exact ratio=37/27;floor quotient=1

left=right*q+r with r=10 in[0,27);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(27, 10)

Euclid step3 exact ratio = 27/10

Euclid step3 quotient times divisor := mul(2, 10)

Euclid step3 quotient times divisor = 20

Euclid step3 remainder := sub(27, 20)

Euclid step3 remainder = 7

step=3;left=27;positive right=10;exact ratio=27/10;floor quotient=2

left=right*q+r with r=7 in[0,10);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 exact ratio := div(10, 7)

Euclid step4 exact ratio = 10/7

Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 7)

Euclid step4 quotient times divisor = 7

Euclid step4 remainder := sub(10, 7)

Euclid step4 remainder = 3

step=4;left=10;positive right=7;exact ratio=10/7;floor quotient=1

left=right*q+r with r=3 in[0,7);gcd pair=[1, 1]

Euclid step5 exact ratio := div(7, 3)

Euclid step5 exact ratio = 7/3

Euclid step5 quotient times divisor := mul(2, 3)

Euclid step5 quotient times divisor = 6

Euclid step5 remainder := sub(7, 6)

Euclid step5 remainder = 1

step=5;left=7;positive right=3;exact ratio=7/3;floor quotient=2

left=right*q+r with r=1 in[0,3);gcd pair=[1, 1]

Euclid step6 exact ratio := div(3, 1)

Euclid step6 exact ratio = 3

Euclid step6 quotient times divisor := mul(3, 1)

Euclid step6 quotient times divisor = 3

Euclid step6 remainder := sub(3, 3)

Euclid step6 remainder = 0

step=6;left=3;positive right=1;exact ratio=3;floor quotient=3

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1148, 101, 11, 37], [101, 37, 2, 27], [37, 27, 1, 10], [27, 10, 2, 7], [10, 7, 1, 3], [7, 3, 2, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]], 1, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。