第 18865 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1518,"b":111}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1518,"b":111}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1518,b=111

initial nonnegative chain values=[1518, 111];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1518, 111)

Euclid step0 exact ratio = 506/37

Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 111)

Euclid step0 quotient times divisor = 1443

Euclid step0 remainder := sub(1518, 1443)

Euclid step0 remainder = 75

step=0;left=1518;positive right=111;exact ratio=506/37;floor quotient=13

left=right*q+r with r=75 in[0,111);gcd pair=[3, 3]

Euclid step1 exact ratio := div(111, 75)

Euclid step1 exact ratio = 37/25

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 75)

Euclid step1 quotient times divisor = 75

Euclid step1 remainder := sub(111, 75)

Euclid step1 remainder = 36

step=1;left=111;positive right=75;exact ratio=37/25;floor quotient=1

left=right*q+r with r=36 in[0,75);gcd pair=[3, 3]

Euclid step2 exact ratio := div(75, 36)

Euclid step2 exact ratio = 25/12

Euclid step2 quotient times divisor := mul(2, 36)

Euclid step2 quotient times divisor = 72

Euclid step2 remainder := sub(75, 72)

Euclid step2 remainder = 3

step=2;left=75;positive right=36;exact ratio=25/12;floor quotient=2

left=right*q+r with r=3 in[0,36);gcd pair=[3, 3]

Euclid step3 exact ratio := div(36, 3)

Euclid step3 exact ratio = 12

Euclid step3 quotient times divisor := mul(12, 3)

Euclid step3 quotient times divisor = 36

Euclid step3 remainder := sub(36, 36)

Euclid step3 remainder = 0

step=3;left=36;positive right=3;exact ratio=12;floor quotient=12

left=right*q+r with r=0 in[0,3);gcd pair=[3, 3]

complete division rows=[[1518, 111, 13, 75], [111, 75, 1, 36], [75, 36, 2, 3], [36, 3, 12, 0]];terminal pair=[3, 0]

gcd(a,b)=gcd(3,0)=3;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3]], 3, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。