第 18872 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1777,"b":118}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1777,"b":118}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1777,b=118

initial nonnegative chain values=[1777, 118];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1777, 118)

Euclid step0 exact ratio = 1777/118

Euclid step0 quotient times divisor := mul(15, 118)

Euclid step0 quotient times divisor = 1770

Euclid step0 remainder := sub(1777, 1770)

Euclid step0 remainder = 7

step=0;left=1777;positive right=118;exact ratio=1777/118;floor quotient=15

left=right*q+r with r=7 in[0,118);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 exact ratio := div(118, 7)

Euclid step1 exact ratio = 118/7

Euclid step1 quotient times divisor := mul(16, 7)

Euclid step1 quotient times divisor = 112

Euclid step1 remainder := sub(118, 112)

Euclid step1 remainder = 6

step=1;left=118;positive right=7;exact ratio=118/7;floor quotient=16

left=right*q+r with r=6 in[0,7);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 exact ratio := div(7, 6)

Euclid step2 exact ratio = 7/6

Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 6)

Euclid step2 quotient times divisor = 6

Euclid step2 remainder := sub(7, 6)

Euclid step2 remainder = 1

step=2;left=7;positive right=6;exact ratio=7/6;floor quotient=1

left=right*q+r with r=1 in[0,6);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 exact ratio := div(6, 1)

Euclid step3 exact ratio = 6

Euclid step3 quotient times divisor := mul(6, 1)

Euclid step3 quotient times divisor = 6

Euclid step3 remainder := sub(6, 6)

Euclid step3 remainder = 0

step=3;left=6;positive right=1;exact ratio=6;floor quotient=6

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

complete division rows=[[1777, 118, 15, 7], [118, 7, 16, 6], [7, 6, 1, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]], 1, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。