第 18874 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1851,"b":120}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1851,"b":120}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate]

original signed inputs a=1851,b=120

initial nonnegative chain values=[1851, 120];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(1851, 120)

Euclid step0 exact ratio = 617/40

Euclid step0 quotient times divisor := mul(15, 120)

Euclid step0 quotient times divisor = 1800

Euclid step0 remainder := sub(1851, 1800)

Euclid step0 remainder = 51

step=0;left=1851;positive right=120;exact ratio=617/40;floor quotient=15

left=right*q+r with r=51 in[0,120);gcd pair=[3, 3]

Euclid step1 exact ratio := div(120, 51)

Euclid step1 exact ratio = 40/17

Euclid step1 quotient times divisor := mul(2, 51)

Euclid step1 quotient times divisor = 102

Euclid step1 remainder := sub(120, 102)

Euclid step1 remainder = 18

step=1;left=120;positive right=51;exact ratio=40/17;floor quotient=2

left=right*q+r with r=18 in[0,51);gcd pair=[3, 3]

Euclid step2 exact ratio := div(51, 18)

Euclid step2 exact ratio = 17/6

Euclid step2 quotient times divisor := mul(2, 18)

Euclid step2 quotient times divisor = 36

Euclid step2 remainder := sub(51, 36)

Euclid step2 remainder = 15

step=2;left=51;positive right=18;exact ratio=17/6;floor quotient=2

left=right*q+r with r=15 in[0,18);gcd pair=[3, 3]

Euclid step3 exact ratio := div(18, 15)

Euclid step3 exact ratio = 6/5

Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 15)

Euclid step3 quotient times divisor = 15

Euclid step3 remainder := sub(18, 15)

Euclid step3 remainder = 3

step=3;left=18;positive right=15;exact ratio=6/5;floor quotient=1

left=right*q+r with r=3 in[0,15);gcd pair=[3, 3]

Euclid step4 exact ratio := div(15, 3)

Euclid step4 exact ratio = 5

Euclid step4 quotient times divisor := mul(5, 3)

Euclid step4 quotient times divisor = 15

Euclid step4 remainder := sub(15, 15)

Euclid step4 remainder = 0

step=4;left=15;positive right=3;exact ratio=5;floor quotient=5

left=right*q+r with r=0 in[0,3);gcd pair=[3, 3]

complete division rows=[[1851, 120, 15, 51], [120, 51, 2, 18], [51, 18, 2, 15], [18, 15, 1, 3], [15, 3, 5, 0]];terminal pair=[3, 0]

gcd(a,b)=gcd(3,0)=3;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3]], 3, 是, gcd_invariant_separate_from_termination)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。