第 18804 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":-470,"b":95}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":-470,"b":95}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-bezout-certificate;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd, x, y, linear_combination, equal, certificate]

original signed inputs a=-470,b=95

initial nonnegative chain values=[470, 95];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(470, 95)

Euclid step0 exact ratio = 94/19

Euclid step0 quotient times divisor := mul(4, 95)

Euclid step0 quotient times divisor = 380

Euclid step0 remainder := sub(470, 380)

Euclid step0 remainder = 90

step=0;left=470;positive right=95;exact ratio=94/19;floor quotient=4

left=right*q+r with r=90 in[0,95);gcd pair=[5, 5]

Euclid step0 first coefficient multiple := mul(4, 0)

Euclid step0 first coefficient multiple = 0

Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0)

Euclid step0 first coefficient difference = 1

Euclid step0 second coefficient multiple := mul(4, 1)

Euclid step0 second coefficient multiple = 4

Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 4)

Euclid step0 second coefficient difference = -4

step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=4

next remainder coefficient pair=[1, -4];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=90

Euclid step1 exact ratio := div(95, 90)

Euclid step1 exact ratio = 19/18

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 90)

Euclid step1 quotient times divisor = 90

Euclid step1 remainder := sub(95, 90)

Euclid step1 remainder = 5

step=1;left=95;positive right=90;exact ratio=19/18;floor quotient=1

left=right*q+r with r=5 in[0,90);gcd pair=[5, 5]

Euclid step1 first coefficient multiple := mul(1, 1)

Euclid step1 first coefficient multiple = 1

Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 1)

Euclid step1 first coefficient difference = -1

Euclid step1 second coefficient multiple := mul(1, -4)

Euclid step1 second coefficient multiple = -4

Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, -4)

Euclid step1 second coefficient difference = 5

step=1;two original-absolute-input coefficient pairs=[[0, 1], [1, -4]];same quotient=1

next remainder coefficient pair=[-1, 5];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=5

Euclid step2 exact ratio := div(90, 5)

Euclid step2 exact ratio = 18

Euclid step2 quotient times divisor := mul(18, 5)

Euclid step2 quotient times divisor = 90

Euclid step2 remainder := sub(90, 90)

Euclid step2 remainder = 0

step=2;left=90;positive right=5;exact ratio=18;floor quotient=18

left=right*q+r with r=0 in[0,5);gcd pair=[5, 5]

Euclid step2 first coefficient multiple := mul(18, -1)

Euclid step2 first coefficient multiple = -18

Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -18)

Euclid step2 first coefficient difference = 19

Euclid step2 second coefficient multiple := mul(18, 5)

Euclid step2 second coefficient multiple = 90

Euclid step2 second coefficient difference := sub(-4, 90)

Euclid step2 second coefficient difference = -94

step=2;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, -4], [-1, 5]];same quotient=18

next remainder coefficient pair=[19, -94];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0

complete division rows=[[470, 95, 4, 90], [95, 90, 1, 5], [90, 5, 18, 0]];terminal pair=[5, 0]

gcd(a,b)=gcd(5,0)=5;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

Euclid restore original a sign in coefficient := mul(-1, -1)

Euclid restore original a sign in coefficient = 1

Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 5)

Euclid restore original b sign in coefficient = 5

Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(-470, 1)

Euclid ORIGINAL signed a times x = -470

Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(95, 5)

Euclid ORIGINAL signed b times y = 475

Euclid final signed Bezout linear combination := sum(-470, 475)

Euclid final signed Bezout linear combination = 5

original a=-470,b=95;deterministic absolute-chain coefficients=[-1, 5]

sign-restored source coefficients x=1,y=5;a*x+b*y=5=nonnegative gcd

逐步反向核對

• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 1, 5, 5, 是, extended_euclidean_back_substitution)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。