第 18825 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":953,"b":137}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":953,"b":137}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-bezout-certificate;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[gcd, x, y, linear_combination, equal, certificate]

original signed inputs a=953,b=137

initial nonnegative chain values=[953, 137];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(953, 137)

Euclid step0 exact ratio = 953/137

Euclid step0 quotient times divisor := mul(6, 137)

Euclid step0 quotient times divisor = 822

Euclid step0 remainder := sub(953, 822)

Euclid step0 remainder = 131

step=0;left=953;positive right=137;exact ratio=953/137;floor quotient=6

left=right*q+r with r=131 in[0,137);gcd pair=[1, 1]

Euclid step0 first coefficient multiple := mul(6, 0)

Euclid step0 first coefficient multiple = 0

Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0)

Euclid step0 first coefficient difference = 1

Euclid step0 second coefficient multiple := mul(6, 1)

Euclid step0 second coefficient multiple = 6

Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 6)

Euclid step0 second coefficient difference = -6

step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=6

next remainder coefficient pair=[1, -6];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=131

Euclid step1 exact ratio := div(137, 131)

Euclid step1 exact ratio = 137/131

Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 131)

Euclid step1 quotient times divisor = 131

Euclid step1 remainder := sub(137, 131)

Euclid step1 remainder = 6

step=1;left=137;positive right=131;exact ratio=137/131;floor quotient=1

left=right*q+r with r=6 in[0,131);gcd pair=[1, 1]

Euclid step1 first coefficient multiple := mul(1, 1)

Euclid step1 first coefficient multiple = 1

Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 1)

Euclid step1 first coefficient difference = -1

Euclid step1 second coefficient multiple := mul(1, -6)

Euclid step1 second coefficient multiple = -6

Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, -6)

Euclid step1 second coefficient difference = 7

step=1;two original-absolute-input coefficient pairs=[[0, 1], [1, -6]];same quotient=1

next remainder coefficient pair=[-1, 7];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=6

Euclid step2 exact ratio := div(131, 6)

Euclid step2 exact ratio = 131/6

Euclid step2 quotient times divisor := mul(21, 6)

Euclid step2 quotient times divisor = 126

Euclid step2 remainder := sub(131, 126)

Euclid step2 remainder = 5

step=2;left=131;positive right=6;exact ratio=131/6;floor quotient=21

left=right*q+r with r=5 in[0,6);gcd pair=[1, 1]

Euclid step2 first coefficient multiple := mul(21, -1)

Euclid step2 first coefficient multiple = -21

Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -21)

Euclid step2 first coefficient difference = 22

Euclid step2 second coefficient multiple := mul(21, 7)

Euclid step2 second coefficient multiple = 147

Euclid step2 second coefficient difference := sub(-6, 147)

Euclid step2 second coefficient difference = -153

step=2;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, -6], [-1, 7]];same quotient=21

next remainder coefficient pair=[22, -153];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=5

Euclid step3 exact ratio := div(6, 5)

Euclid step3 exact ratio = 6/5

Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 5)

Euclid step3 quotient times divisor = 5

Euclid step3 remainder := sub(6, 5)

Euclid step3 remainder = 1

step=3;left=6;positive right=5;exact ratio=6/5;floor quotient=1

left=right*q+r with r=1 in[0,5);gcd pair=[1, 1]

Euclid step3 first coefficient multiple := mul(1, 22)

Euclid step3 first coefficient multiple = 22

Euclid step3 first coefficient difference := sub(-1, 22)

Euclid step3 first coefficient difference = -23

Euclid step3 second coefficient multiple := mul(1, -153)

Euclid step3 second coefficient multiple = -153

Euclid step3 second coefficient difference := sub(7, -153)

Euclid step3 second coefficient difference = 160

step=3;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-1, 7], [22, -153]];same quotient=1

next remainder coefficient pair=[-23, 160];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=1

Euclid step4 exact ratio := div(5, 1)

Euclid step4 exact ratio = 5

Euclid step4 quotient times divisor := mul(5, 1)

Euclid step4 quotient times divisor = 5

Euclid step4 remainder := sub(5, 5)

Euclid step4 remainder = 0

step=4;left=5;positive right=1;exact ratio=5;floor quotient=5

left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1]

Euclid step4 first coefficient multiple := mul(5, -23)

Euclid step4 first coefficient multiple = -115

Euclid step4 first coefficient difference := sub(22, -115)

Euclid step4 first coefficient difference = 137

Euclid step4 second coefficient multiple := mul(5, 160)

Euclid step4 second coefficient multiple = 800

Euclid step4 second coefficient difference := sub(-153, 800)

Euclid step4 second coefficient difference = -953

step=4;two original-absolute-input coefficient pairs=[[22, -153], [-23, 160]];same quotient=5

next remainder coefficient pair=[137, -953];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0

complete division rows=[[953, 137, 6, 131], [137, 131, 1, 6], [131, 6, 21, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal pair=[1, 0]

gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

Euclid restore original a sign in coefficient := mul(1, -23)

Euclid restore original a sign in coefficient = -23

Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 160)

Euclid restore original b sign in coefficient = 160

Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(953, -23)

Euclid ORIGINAL signed a times x = -21919

Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(137, 160)

Euclid ORIGINAL signed b times y = 21920

Euclid final signed Bezout linear combination := sum(-21919, 21920)

Euclid final signed Bezout linear combination = 1

original a=953,b=137;deterministic absolute-chain coefficients=[-23, 160]

sign-restored source coefficients x=-23,y=160;a*x+b*y=1=nonnegative gcd

逐步反向核對

• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(1, -23, 160, 1, 是, extended_euclidean_back_substitution)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。