第 18883 題：Euclidean演算法

原題與已知條件

exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":0,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":0,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euclidean-algorithm

逐步推導

source operation=euclid-zero-input-boundary;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[a, b, gcd, x, y, linear_combination, convention]

original signed inputs a=0,b=8

initial nonnegative chain values=[0, 8];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input

Euclid step0 exact ratio := div(0, 8)

Euclid step0 exact ratio = 0

Euclid step0 quotient times divisor := mul(0, 8)

Euclid step0 quotient times divisor = 0

Euclid step0 remainder := sub(0, 0)

Euclid step0 remainder = 0

step=0;left=0;positive right=8;exact ratio=0;floor quotient=0

left=right*q+r with r=0 in[0,8);gcd pair=[8, 8]

Euclid step0 first coefficient multiple := mul(0, 0)

Euclid step0 first coefficient multiple = 0

Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0)

Euclid step0 first coefficient difference = 1

Euclid step0 second coefficient multiple := mul(0, 1)

Euclid step0 second coefficient multiple = 0

Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 0)

Euclid step0 second coefficient difference = 0

step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=0

next remainder coefficient pair=[1, 0];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0

complete division rows=[[0, 8, 0, 0]];terminal pair=[8, 0]

gcd(a,b)=gcd(8,0)=8;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention

Euclid restore original a sign in coefficient := mul(1, 0)

Euclid restore original a sign in coefficient = 0

Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 1)

Euclid restore original b sign in coefficient = 1

Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(0, 0)

Euclid ORIGINAL signed a times x = 0

Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(8, 1)

Euclid ORIGINAL signed b times y = 8

Euclid final signed Bezout linear combination := sum(0, 8)

Euclid final signed Bezout linear combination = 8

original a=0,b=8;deterministic absolute-chain coefficients=[0, 1]

sign-restored source coefficients x=0,y=1;a*x+b*y=8=nonnegative gcd

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(0, 8, 8, 0, 1, 8, no_division_by_zero_executed)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。