R0036-18896 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0096
exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":-21,"b":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":-21,"b":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=euclid-zero-input-boundary;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[a, b, gcd, x, y, linear_combination, convention]
條件：無
原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
original signed inputs a=-21,b=0
操作後
initial nonnegative chain values=[21, 0];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input
條件：無
公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。
規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001
操作前
complete division rows=[];terminal pair=[21, 0]
操作後
gcd(a,b)=gcd(21,0)=21;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention
條件：無
終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。
規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S002
操作前
Euclid restore original a sign in coefficient := mul(-1, 1)
操作後
Euclid restore original a sign in coefficient = -1
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 0)
操作後
Euclid restore original b sign in coefficient = 0
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(-21, -1)
操作後
Euclid ORIGINAL signed a times x = 21
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(0, 0)
操作後
Euclid ORIGINAL signed b times y = 0
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Euclid final signed Bezout linear combination := sum(21, 0)
操作後
Euclid final signed Bezout linear combination = 21
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
original a=-21,b=0;deterministic absolute-chain coefficients=[1, 0]
操作後
sign-restored source coefficients x=-1,y=0;a*x+b*y=21=nonnegative gcd
條件：無
來源要求這條extended chain的確定係數，雖然其他Bézout係數也可能正確，仍不能替換來源答案。零符號保+1；(0,0)給原係數(1,0)及0=0，不聲稱唯一。
規則：euclid_deterministic_signed_bezout_not_just_any_coefficients · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(-21, 0, 21, -1, 0, 21, no_division_by_zero_executed)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 93677233d1c3d991a4acd712f6c70fc11ba28808d47b93e6cb2e977f3e095a6fcandidate record SHA-256: 161f7abaeef993e92a85a7083b5ce5f78e98c384c4d7c379ac9afb3edd37be5esemantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED