R0036-18903 · q-20261014-advance-20261105-r04-eulerian-trail-0028
完整有限簡單無向圖、edge support與明示walk。操作=euler-odd-degree-classification；資料={"n":4,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整有限簡單無向圖、edge support與明示walk。操作=euler-odd-degree-classification；資料={"n":4,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=euler-odd-degree-classification;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[degrees, odd_vertices, edge_support_connected, euler_type, criterion]
條件：無
原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
complete ORIGINAL carrier Fin(4);canonical ORIGINAL simple undirected edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3]]
操作後
edge indices are EXACT original list positions0..2;retain ALL vertices;no12-vertex or10-edge bound
條件：無
逐原邊位置固定索引，不用頂點對的字串排序代替來源數字順序。此題族允許到60頂點，不沿用前題族上界；零邊圖僅在允許的操作出現。
規則：euler_original_simple_graph_indices_full_carrier · 依賴：G001, S001
操作前
Euler vertex0 exact incident edge count := sum(1)
操作後
Euler vertex0 exact incident edge count = 1
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
original vertex=0;ALL original incident edge indices=[0]
操作後
degree=1;nonisolated=是;odd=是
條件：無
只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。
規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S003
操作前
Euler vertex1 exact incident edge count := sum(1, 1)
操作後
Euler vertex1 exact incident edge count = 2
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
original vertex=1;ALL original incident edge indices=[0, 1]
操作後
degree=2;nonisolated=是;odd=否
條件：無
只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。
規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S005
操作前
Euler vertex2 exact incident edge count := sum(1, 1)
操作後
Euler vertex2 exact incident edge count = 2
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
original vertex=2;ALL original incident edge indices=[1, 2]
操作後
degree=2;nonisolated=是;odd=否
條件：無
只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。
規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S007
操作前
Euler vertex3 exact incident edge count := sum(1)
操作後
Euler vertex3 exact incident edge count = 1
條件：無
依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
original vertex=3;ALL original incident edge indices=[2]
操作後
degree=1;nonisolated=是;odd=是
條件：無
只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。
規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S009
操作前
nonisolated edge support:original edge index=0;edge=[0, 1];from=0;new vertex=1
操作後
original-edge path from0=[0, 1];reached=[0, 1]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S010
操作前
nonisolated edge support:original edge index=1;edge=[1, 2];from=1;new vertex=2
操作後
original-edge path from0=[0, 1, 2];reached=[0, 1, 2]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S011
操作前
nonisolated edge support:original edge index=2;edge=[2, 3];from=2;new vertex=3
操作後
original-edge path from0=[0, 1, 2, 3];reached=[0, 1, 2, 3]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S012
操作前
nonisolated edge support:complete permitted carrier=[0, 1, 2, 3];reached=[0, 1, 2, 3];unreached=[];ALL original edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3]]
操作後
no edge in carrier crosses reached/unreached cut;connected=是
條件：無
BFS耗盡給沒有跨cut的邊：有未達點便無起點到它的路徑，全部達到則路徑見證覆蓋。support與全carrier各自核對，不能為了全圖connected偷刪孤立點。
規則：euler_complete_reachability_closed_cut_not_isolate_deletion · 依賴：G001, S013
操作前
whole original carrier:original edge index=0;edge=[0, 1];from=0;new vertex=1
操作後
original-edge path from0=[0, 1];reached=[0, 1]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S014
操作前
whole original carrier:original edge index=1;edge=[1, 2];from=1;new vertex=2
操作後
original-edge path from0=[0, 1, 2];reached=[0, 1, 2]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S015
操作前
whole original carrier:original edge index=2;edge=[2, 3];from=2;new vertex=3
操作後
original-edge path from0=[0, 1, 2, 3];reached=[0, 1, 2, 3]
條件：無
每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。
規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S016
操作前
whole original carrier:complete permitted carrier=[0, 1, 2, 3];reached=[0, 1, 2, 3];unreached=[];ALL original edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3]]
操作後
no edge in carrier crosses reached/unreached cut;connected=是
條件：無
BFS耗盡給沒有跨cut的邊：有未達點便無起點到它的路徑，全部達到則路徑見證覆蓋。support與全carrier各自核對，不能為了全圖connected偷刪孤立點。
規則：euler_complete_reachability_closed_cut_not_isolate_deletion · 依賴：G001, S017
操作前
complete degree list=[1, 2, 2, 1];ALL odd vertices=[0, 3];actual nonisolated support=[0, 1, 2, 3];support connected=是;whole graph connected=是
操作後
ANY full-edge trail joins all nonisolated vertices in one support component;each internal visit pairs incident edges,leaving only0 or2 odd endpoints
條件：無
若有全邊trail，每條有邊的頂點都在此walk串成的一個分量。每個內部進出配成兩條incident邊，只有不同端點可能各餘一條，故奇點只可0或2。這是必要性全稱理由，不從一次walk測試猜。孤立點不在edge support。
規則：euler_necessary_connected_support_and_degree_parity · 依賴：G001, S018
操作前
Hierholzer stack top=0;first unused incident ORIGINAL edge index=0;edge=[0, 1]
操作後
mark edge used ONCE;push vertex=1;current stack=[0, 1];used edge set=[0]
條件：無
沿當前頂點一條未用真邊延伸，每次標一次邊，所以用邊數有限增加；頂點可以重訪，邊不重用。
規則：euler_constructive_unused_edge_extension · 依賴：G001, S019
操作前
Hierholzer stack top=1;first unused incident ORIGINAL edge index=1;edge=[1, 2]
操作後
mark edge used ONCE;push vertex=2;current stack=[0, 1, 2];used edge set=[0, 1]
條件：無
沿當前頂點一條未用真邊延伸，每次標一次邊，所以用邊數有限增加；頂點可以重訪，邊不重用。
規則：euler_constructive_unused_edge_extension · 依賴：G001, S020
操作前
Hierholzer stack top=2;first unused incident ORIGINAL edge index=2;edge=[2, 3]
操作後
mark edge used ONCE;push vertex=3;current stack=[0, 1, 2, 3];used edge set=[0, 1, 2]
條件：無
沿當前頂點一條未用真邊延伸，每次標一次邊，所以用邊數有限增加；頂點可以重訪，邊不重用。
規則：euler_constructive_unused_edge_extension · 依賴：G001, S021
操作前
Hierholzer current stack=[0, 1, 2, 3];top vertex has NO unused incident edge
操作後
finalize top into reverse output=[3];remaining stack=[0, 1, 2]
條件：無
沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。
規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S022
操作前
Hierholzer current stack=[0, 1, 2];top vertex has NO unused incident edge
操作後
finalize top into reverse output=[3, 2];remaining stack=[0, 1]
條件：無
沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。
規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S023
操作前
Hierholzer current stack=[0, 1];top vertex has NO unused incident edge
操作後
finalize top into reverse output=[3, 2, 1];remaining stack=[0]
條件：無
沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。
規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S024
操作前
Hierholzer current stack=[0];top vertex has NO unused incident edge
操作後
finalize top into reverse output=[3, 2, 1, 0];remaining stack=[]
條件：無
沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。
規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S025
操作前
connected nonisolated support=[0, 1, 2, 3];odd vertices=[0, 3];finished reversed construction
操作後
ACTUAL Euler witness walk=[0, 1, 2, 3];actual ORIGINAL edge order=[0, 1, 2];every original edge once;endpoints have required parity
條件：無
把最終walk逐步映回原邊，核長度m+1、索引無重複且全集覆蓋，便直接證此圖存在Euler trail。0奇點時閉合，2奇點時端點是那兩點；不是只看奇數個數就宣稱存在，也不推出Hamilton性質。
規則：euler_sufficiency_actual_full_edge_witness_not_parity_alone · 依賴：G001, S026
S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex3 exact incident edge count，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex2 exact incident edge count，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex1 exact incident edge count，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex0 exact incident edge count，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([1, 2, 2, 1], [0, 3], 是, open_euler_trail, zero_or_two_odd_vertices_on_connected_edge_support)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: c1361876677eb33e492b4f554dbd7d5a4a7ab4248ba444566d157dfedc76ba57candidate record SHA-256: 9e3b825957a4e990d51a5750ccfd0ca960c0e4ce770fc6bc3c23a517739285fesemantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED