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第 19953 題：商向量空間

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0038-19953 · q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0078

原題與已知條件

有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-dimension-formula；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,3,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-dimension-formula；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,3,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=quotient-dimension-formula;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[ambient_dimension, dimension_w, quotient_dimension, identity, certificate]

條件：無

原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1], [3], [0]];rows=3;columns=1

操作後

perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed

條件：無

逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

操作後

quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1]

操作後

normalized FULL row=[1]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(3, 1)

操作後

quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(3, 3)

操作後

quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis:target row=1;old row=[3];subtract factor=3 times FULL pivot row=[1]

操作後

new exact FULL row=[0]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

quotient ORIGINAL ordered W basis:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0]

操作後

rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved

條件：無

主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ACTUAL ambient real space R^3;complete ORIGINAL independent basis columns of W=[[1, 3, 0]]

操作後

W is the FULL real span of these columns;dim W=1;zero coset is the WHOLE subspace W,not the vector0 alone

條件：無

完整basis的獨立性逐精確rank核過，所以數量是dimW；列表不是W所有元素。空basis代表W={0}，零coset仍是集合W，不把商元素與某一代表向量混型。

步驟識別與依賴

規則：quotient_declared_subspace_full_real_span_zero_coset · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1], [3, 0], [0, 0]];rows=3;columns=2

操作後

perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed

條件：無

逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1]

操作後

normalized FULL row=[1, 1]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(3, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:target row=1;old row=[3, 0];subtract factor=3 times FULL pivot row=[1, 1]

操作後

new exact FULL row=[0, -3]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-3, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-3;old FULL row=[0, -3]

操作後

normalized FULL row=[0, 1]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:target row=0;old row=[1, 1];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1]

操作後

new exact FULL row=[1, 0]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1]

操作後

rank=2;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved

條件：無

主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate0:original proposed vector=[1, 0, 0];original independent columns=[[1, 3, 0]];FULL reduced augmented system=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]]

操作後

contradiction row1:0*all real coefficients=1;NOT in the full real span

條件：無

同一可逆方程組出現0=1，故任何實係數都無解；這是全域membership否證，不是某範圍內找不到整數係數。

步驟識別與依賴

規則：quotient_actual_inconsistent_real_system_not_bounded_search_failure · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

next ORIGINAL standard-coordinate vector e_0=[1, 0, 0];in previous full span=否

操作後

append this independent new vector;current full ordered independent family=[[1, 3, 0], [1, 0, 0]]

條件：無

已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。

步驟識別與依賴

規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1, 0], [3, 0, 1], [0, 0, 0]];rows=3;columns=3

操作後

perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed

條件：無

逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2 := div(0, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1, 0]

操作後

normalized FULL row=[1, 1, 0]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(3, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product := mul(3, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference := sub(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:target row=1;old row=[3, 0, 1];subtract factor=3 times FULL pivot row=[1, 1, 0]

操作後

new exact FULL row=[0, -3, 1]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-3, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2 := div(1, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2 = -1/3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-3;old FULL row=[0, -3, 1]

操作後

normalized FULL row=[0, 1, -1/3]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product := mul(1, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product = -1/3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049

S051 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference := sub(0, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference = 1/3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:target row=0;old row=[1, 1, 0];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1, -1/3]

操作後

new exact FULL row=[1, 0, 1/3]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:column=2;remaining exact entries=[0]

操作後

no pivot added;current rank=2

條件：無

剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。

步驟識別與依賴

規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 1/3], [0, 1, -1/3], [0, 0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1]

操作後

rank=2;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved

條件：無

主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, 1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = 1/3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product := mul(1, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product = -1/3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(1/3, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(3, 1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057

S059 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product := mul(0, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, 1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product := mul(0, -1/3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate1:original proposed vector=[0, 1, 0];original ordered independent columns=[[1, 3, 0], [1, 0, 0]];complete reduced augmented system=[[1, 0, 1/3], [0, 1, -1/3], [0, 0, 0]]

操作後

exact real-span coefficient witness=[1/3, -1/3];FULL original reconstruction=[0, 1, 0];membership=是

條件：無

主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

next ORIGINAL standard-coordinate vector e_1=[0, 1, 0];in previous full span=是

操作後

keep previous basis;current full ordered independent family=[[1, 3, 0], [1, 0, 0]]

條件：無

已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。

步驟識別與依賴

規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1, 0], [3, 0, 0], [0, 0, 1]];rows=3;columns=3

操作後

perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed

條件：無

逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2 := div(0, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1, 0]

操作後

normalized FULL row=[1, 1, 0]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S069

S071 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(3, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(3, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -3

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product := mul(3, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference := sub(0, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:target row=1;old row=[3, 0, 0];subtract factor=3 times FULL pivot row=[1, 1, 0]

操作後

new exact FULL row=[0, -3, 0]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-3, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2 := div(0, -3)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-3;old FULL row=[0, -3, 0]

操作後

normalized FULL row=[0, 1, 0]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S080

S082 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081

S083 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082

S084 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083

S085 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084

S086 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product := mul(1, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085

S087 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference := sub(0, 0)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:target row=0;old row=[1, 1, 0];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1, 0]

操作後

new exact FULL row=[1, 0, 0]

條件：無

同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。

步驟識別與依賴

規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0 := div(0, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1 := div(0, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1 = 0

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089

S091 · calculation

操作前

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2 := div(1, 1)

操作後

quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2 = 1

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:row=2;column=2;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[0, 0, 1]

操作後

normalized FULL row=[0, 0, 1]

條件：無

整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。

步驟識別與依賴

規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1, 2]

操作後

rank=3;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved

條件：無

主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。

步驟識別與依賴

規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

quotient basis extension standard coordinate2:original proposed vector=[0, 0, 1];original independent columns=[[1, 3, 0], [1, 0, 0]];FULL reduced augmented system=[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

操作後

contradiction row2:0*all real coefficients=1;NOT in the full real span

條件：無

同一可逆方程組出現0=1，故任何實係數都無解；這是全域membership否證，不是某範圍內找不到整數係數。

步驟識別與依賴

規則：quotient_actual_inconsistent_real_system_not_bounded_search_failure · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

next ORIGINAL standard-coordinate vector e_2=[0, 0, 1];in previous full span=否

操作後

append this independent new vector;current full ordered independent family=[[1, 3, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

條件：無

已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。

步驟識別與依賴

規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S094

S096 · calculation

操作前

quotient finite dimension difference := sub(3, 1)

操作後

quotient finite dimension difference = 2

條件：無

依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

ORIGINAL complete W basis=[[1, 3, 0]];exact full ambient basis extends it by=[[1, 0, 0], [0, 0, 1]];ambient dimension=3

操作後

cosets of extension vectors span V/W;any zero coset combination would be a full-basis relation,so all its coefficients0;dim(V/W)=2=n-dimW;zero coset=WHOLE W

條件：無

任意ambient向量展開後，W部分在商中為零，extension cosets便生成。若extension線性組合落W，把它移成原完整basis的零關係，獨立性迫其係數全零，所以真是商basis。W=0或W=V也直接涵蓋；此dim公式限有限維。

步驟識別與依賴

規則：quotient_basis_extension_full_span_independence_dimension · 依賴：G001, S096

逐步反向核對

  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient finite dimension difference，不以小數近似替代。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2，不以小數近似替代。
  • S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference，不以小數近似替代。
  • S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product，不以小數近似替代。
  • S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。
  • S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference，不以小數近似替代。
  • S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product，不以小數近似替代。
  • S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。
  • S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。
  • S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。
  • S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。
  • S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。
  • S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。
  • S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。
  • S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。
  • S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。
  • S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference，不以小數近似替代。
  • S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product，不以小數近似替代。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。
  • S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference，不以小數近似替代。
  • S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product，不以小數近似替代。
  • S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(3, 1, 2, 是, finite_dimensional_dimension_formula_and_zero_coset_is_W)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: f679761d83c98842aafce8068ab022589b411f0a27f013dd10a60b2ab3e55129
  • candidate record SHA-256: cfc8a0b3478c446b9fca8fa612869a3f78d1cefa28415ac2193a6cbed64aedb3
  • semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612
  • question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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