R0039-20367 · q-20261014-advance-20261107-r05-pigeonhole-principle-0042
完整有限集合大小與total map。操作=pigeon-generalized-load；資料={"mapping":[0,2,0,2,0,2,0,2],"codomain_count":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整有限集合大小與total map。操作=pigeon-generalized-load；資料={"mapping":[0,2,0,2,0,2,0,2],"codomain_count":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=pigeon-generalized-load;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[loads, maximum_load, ceiling_lower_bound, bound_holds, certificate]
條件：無
原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
ORIGINAL complete source-indexed total map=[0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2];source Fin(8);ACTUAL target Fin(4)
操作後
every source has ONE in-range image;all target labels0..3 retained even if unused;empty source allowed
條件：無
原source索引順序與target標籤保留，不以首次遇見次序重新編號桶。完整total map才可算全部fibre與碰撞；空domain也仍映入非空codomain。
規則：pigeon_complete_total_map_not_sample_or_bin_relabeling · 依賴：G001, S001
操作前
pigeon target0 complete fibre load := sum(1, 1, 1, 1)
操作後
pigeon target0 complete fibre load = 4
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
ACTUAL original target=0;ALL source fibre indices=[0, 2, 4, 6]
操作後
complete load=4;unused targets remain with load0
條件：無
逐全部codomain槽列出fibre，空桶也保0；不只計用過的桶而改變平均分母。
規則：pigeon_every_target_load_null_bins_retained · 依賴：G001, S003
操作前
pigeon target1 complete fibre load := sum()
操作後
pigeon target1 complete fibre load = 0
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
ACTUAL original target=1;ALL source fibre indices=[]
操作後
complete load=0;unused targets remain with load0
條件：無
逐全部codomain槽列出fibre，空桶也保0；不只計用過的桶而改變平均分母。
規則：pigeon_every_target_load_null_bins_retained · 依賴：G001, S005
操作前
pigeon target2 complete fibre load := sum(1, 1, 1, 1)
操作後
pigeon target2 complete fibre load = 4
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ACTUAL original target=2;ALL source fibre indices=[1, 3, 5, 7]
操作後
complete load=4;unused targets remain with load0
條件：無
逐全部codomain槽列出fibre，空桶也保0；不只計用過的桶而改變平均分母。
規則：pigeon_every_target_load_null_bins_retained · 依賴：G001, S007
操作前
pigeon target3 complete fibre load := sum()
操作後
pigeon target3 complete fibre load = 0
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
ACTUAL original target=3;ALL source fibre indices=[]
操作後
complete load=0;unused targets remain with load0
條件：無
逐全部codomain槽列出fibre，空桶也保0；不只計用過的桶而改變平均分母。
規則：pigeon_every_target_load_null_bins_retained · 依賴：G001, S009
操作前
pigeon complete sum of all target loads := sum(4, 0, 4, 0)
操作後
pigeon complete sum of all target loads = 8
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
pigeon exact average load := div(8, 4)
操作後
pigeon exact average load = 2
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
pigeon exact ceiling lower bound := sum(2, 0)
操作後
pigeon exact ceiling lower bound = 2
條件：無
依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
ALL original-order loads=[4, 0, 4, 0];sum=8;nonempty target count=4;exact average=2;division m=n*2+0
操作後
ceiling average=2;actual max load=4 attained at target0;maximum>=ceiling;not necessarily equality
條件：無
若每桶都小於ceil(m/n)，整數負載都≤ceil−1，總和<n·m/n=m，矛盾。m=0時全部負載0直接給max=ceil=0；不能把這個下界換成最大負載的等式。
規則：pigeon_generalized_ceiling_full_load_argument · 依賴：G001, S013
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon exact ceiling lower bound，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon exact average load，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon complete sum of all target loads，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon target3 complete fibre load，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon target2 complete fibre load，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon target1 complete fibre load，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pigeon target0 complete fibre load，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([4, 0, 4, 0], 4, 2, 是, generalized_pigeonhole_load_bound)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 5e679e788f797e8e929ee1e046b909ff850d8e59da9fa6ba5eba24e3b574cf9ccandidate record SHA-256: 33e25886b643c7ddb01d6e8111817b7df446b2b65cc5f03e8a915ad7831d913bsemantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED