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第 21255 題：子空間拓撲

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0041-21255 · q-20261014-advance-20261108-r03-subspace-topology-0055

原題與已知條件

完整有限母拓撲、明示Y subset X與相對全集Y。操作=subtop-relative-closed-audit；資料={"n":5,"parent_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2,3,4],[0,1,2,4],[0,1,4]],"subset":[1,2,3],"candidate":[2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限母拓撲、明示Y subset X與相對全集Y。操作=subtop-relative-closed-audit；資料={"n":5,"parent_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2,3,4],[0,1,2,4],[0,1,4]],"subset":[1,2,3],"candidate":[2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=subtop-relative-closed-audit;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[candidate, relative_complement, relative_closed, boundary]

條件：無

原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=0,U=[];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [], []], [1, [0], []], [2, [0, 1], []], [3, [0, 1, 2, 3, 4], []], [4, [0, 1, 2, 4], []], [5, [0, 1, 4], []]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=1,U=[0];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0], []], [1, [0], [0]], [2, [0, 1], [0]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0]], [4, [0, 1, 2, 4], [0]], [5, [0, 1, 4], [0]]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=2,U=[0, 1];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1], []], [1, [0, 1], [0]], [2, [0, 1], [0, 1]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1]], [4, [0, 1, 2, 4], [0, 1]], [5, [0, 1, 4], [0, 1]]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=3,U=[0, 1, 2, 3, 4];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2, 3, 4], []], [1, [0, 1, 2, 3, 4], [0]], [2, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4]], [4, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4]], [5, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 4]]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=4,U=[0, 1, 2, 4];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2, 4], []], [1, [0, 1, 2, 4], [0]], [2, [0, 1, 2, 4], [0, 1]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4]], [4, [0, 1, 2, 4], [0, 1, 2, 4]], [5, [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=5,U=[0, 1, 4];complete topology=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 4], []], [1, [0, 1, 4], [0]], [2, [0, 1, 4], [0, 1]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 4]], [4, [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]], [5, [0, 1, 4], [0, 1, 4]]];each belongs to the SAME parent family

條件：無

先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。

步驟識別與依賴

規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=0,U=[];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=1,U=[0];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=2,U=[0, 1];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[1];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=3,U=[0, 1, 2, 3, 4];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[1, 2, 3];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=4,U=[0, 1, 2, 4];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[1, 2];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ORIGINAL parent open index=5,U=[0, 1, 4];ORIGINAL subset Y=[1, 2, 3]

操作後

actual U intersect Y=[1];retain parent index even if another open has the same intersection

條件：無

對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。

步驟識別與依賴

規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

subtop distinct relative open count := sum(1, 1, 1, 1)

操作後

subtop distinct relative open count = 4

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ORIGINAL Y=[1, 2, 3];ALL parent intersections=[[], [], [1], [1, 2, 3], [1, 2], [1]]

操作後

normalized relative topology=[[], [1], [1, 2], [1, 2, 3]];distinct count=4;empty and Y included;unions and finite intersections commute with intersect Y

條件：無

任意union與有限intersection都可把交Y提出，再由母拓撲封閉得到相對open。Y空時所有交集都是空集，誘導拓撲是只含空集的一個family，不是零個open。

步驟識別與依賴

規則：subtop_induced_axioms_and_empty_Y · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ORIGINAL candidate=[2, 3] subset Y=[1, 2, 3];ALL original parent opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 4], [0, 1, 4]]

操作後

ALL ambient U with U intersect Y=candidate=[];relative_open=否;ambient_open=否;Y minus candidate=[1];relative_closed=是

條件：無

相對open以母open交Y見證，不等於candidate自己在母拓撲。相對closed要查Y內補集open，並由De Morgan律看出相對closed的母closed交Y形式；不改用母空間內補集。

步驟識別與依賴

規則：subtop_relative_open_witnesses_and_relative_complement · 依賴：G001, S015

逐步反向核對

  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 subtop distinct relative open count，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([2, 3], [1], 是, complement_taken_inside_Y)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 745f5c8754495fefce4e7b7dacb03e722d4904cf46419700188697f324d88e38
  • candidate record SHA-256: babd9fb6b240cd1409eaef5a5076644737d199ddcae6fe0cdad6acf1be10ac53
  • semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262a
  • question-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ce
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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