R0042-21937 · q-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-0037
同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-positive-cells-formula；資料={"masses":[[1,21],[2,21],[18,21],[0,1]],"values":[11,12,14,110],"partition":[[0,1],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-positive-cells-formula；資料={"masses":[[1,21],[2,21],[18,21],[0,1]],"values":[11,12,14,110],"partition":[[0,1],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=totalexp-positive-cells-formula;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[cell_rows, weighted_sum, mean, equal]
條件：無
原題歷史介面標記保留，本頁直接列來源有序欄位，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No保留其原聲稱範圍。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
Total expectation complete original mass := sum(1/21, 2/21, 6/7, 0)
操作後
Total expectation complete original mass = 1
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Total expectation original atom0 weighted X := mul(1/21, 11)
操作後
Total expectation original atom0 weighted X = 11/21
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Total expectation original atom1 weighted X := mul(2/21, 12)
操作後
Total expectation original atom1 weighted X = 8/7
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Total expectation original atom2 weighted X := mul(6/7, 14)
操作後
Total expectation original atom2 weighted X = 12
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Total expectation original atom3 weighted X := mul(0, 110)
操作後
Total expectation original atom3 weighted X = 0
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Total expectation full original mean := sum(11/21, 8/7, 12, 0)
操作後
Total expectation full original mean = 41/3
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL masses=[1/21, 2/21, 6/7, 0],SIGNED values X=[11, 12, 14, 110];ORIGINAL cell order=[[0, 1], [2, 3]]
操作後
flattened original atom labels=[0, 1, 2, 3] cover EVERY atom exactly ONCE including null atoms;total mass=1;integrable finite mean=41/3;NO independence premise
條件：無
分割必涵蓋全部原子，包括零質量點；cell順序保原輸入，cell內按來源排序。X可負，有限值可積；獨立性不是全期望公式的前提。
規則：totalexp_same_law_complete_disjoint_partition_all_atoms · 依賴：G001, S007
操作前
Total expectation cell0 mass := sum(1/21, 2/21)
操作後
Total expectation cell0 mass = 1/7
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Total expectation cell0 numerator := sum(11/21, 8/7)
操作後
Total expectation cell0 numerator = 5/3
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Total expectation cell0 positive-mass conditional mean := div(5/3, 1/7)
操作後
Total expectation cell0 positive-mass conditional mean = 35/3
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
ORIGINAL cell index=0,atom labels=[0, 1];mass=1/7;weighted numerator=5/3
操作後
conditional quotient=35/3;positive denominator qualifies division
條件：無
正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。
規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S011
操作前
Total expectation cell1 mass := sum(6/7, 0)
操作後
Total expectation cell1 mass = 6/7
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Total expectation cell1 numerator := sum(12, 0)
操作後
Total expectation cell1 numerator = 12
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Total expectation cell1 positive-mass conditional mean := div(12, 6/7)
操作後
Total expectation cell1 positive-mass conditional mean = 14
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
ORIGINAL cell index=1,atom labels=[2, 3];mass=6/7;weighted numerator=12
操作後
conditional quotient=14;positive denominator qualifies division
條件：無
正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。
規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S015
操作前
Total expectation positive cell0 weighted mean := mul(1/7, 35/3)
操作後
Total expectation positive cell0 weighted mean = 5/3
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
Total expectation positive cell1 weighted mean := mul(6/7, 14)
操作後
Total expectation positive cell1 weighted mean = 12
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Total expectation sum positive-cell weighted means := sum(5/3, 12)
操作後
Total expectation sum positive-cell weighted means = 41/3
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
ALL original cell rows[index,atoms,mass,conditional_or_null,numerator]=[[0, [0, 1], 1/7, 35/3, 5/3], [1, [2, 3], 6/7, 14, 12]]
操作後
positive-cell weighted sum=41/3;ORIGINAL global mean=41/3;equal=是;disjoint complete cells regroup EVERY original p_i*X_i exactly ONCE,null contributions0
條件：無
每個正cell的mass乘條件均值恰還原分子，零cell貢獻0；全部不交且完整分割才可重組為原全體加權和。這是一般恆等理由，不是無權平均cell均值或一次數值湊巧相等。
規則：totalexp_regroup_complete_partition_general_identity · 依賴：G001, S019
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation sum positive-cell weighted means，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation positive cell1 weighted mean，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation positive cell0 weighted mean，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 positive-mass conditional mean，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 numerator，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 mass，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 positive-mass conditional mean，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 numerator，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 mass，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation full original mean，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom3 weighted X，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom2 weighted X，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom1 weighted X，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom0 weighted X，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation complete original mass，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([[0, 1/7, 35/3, 5/3], [1, 6/7, 14, 12]], 41/3, 41/3, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 58c598020aa1a39fc6bf26ac094962dd2d1547fd47d859d1797c67634695c7fecandidate record SHA-256: b35906793990d9e7d520fc4fda8173250ae942dd95642e5a0032174eebae9352semantic review receipt SHA-256: dd44555041dfbb6fe9936aa00b9a5f8c5982c2784ef61dd0cbd5d1a303a49c1aquestion-first witness SHA-256: 9a6011263f6ac53b9a1fd57addf2f3e2f6088b54802c539f332d689480dc2d17Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED