R0042-21977 · q-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-0077
同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-zero-mass-boundary；資料={"masses":[[1,11],[2,11],[8,11],[0,1]],"values":[1,2,4,100],"partition":[[0,1,2],[3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-zero-mass-boundary；資料={"masses":[[1,11],[2,11],[8,11],[0,1]],"values":[1,2,4,100],"partition":[[0,1,2],[3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=totalexp-zero-mass-boundary;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[cell_rows, positive_cell_weighted_sum, mean, equal, null_cell_division_claim, boundary]
條件：無
原題歷史介面標記保留，本頁直接列來源有序欄位，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No保留其原聲稱範圍。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
Total expectation complete original mass := sum(1/11, 2/11, 8/11, 0)
操作後
Total expectation complete original mass = 1
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Total expectation original atom0 weighted X := mul(1/11, 1)
操作後
Total expectation original atom0 weighted X = 1/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Total expectation original atom1 weighted X := mul(2/11, 2)
操作後
Total expectation original atom1 weighted X = 4/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Total expectation original atom2 weighted X := mul(8/11, 4)
操作後
Total expectation original atom2 weighted X = 32/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Total expectation original atom3 weighted X := mul(0, 100)
操作後
Total expectation original atom3 weighted X = 0
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Total expectation full original mean := sum(1/11, 4/11, 32/11, 0)
操作後
Total expectation full original mean = 37/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL masses=[1/11, 2/11, 8/11, 0],SIGNED values X=[1, 2, 4, 100];ORIGINAL cell order=[[0, 1, 2], [3]]
操作後
flattened original atom labels=[0, 1, 2, 3] cover EVERY atom exactly ONCE including null atoms;total mass=1;integrable finite mean=37/11;NO independence premise
條件：無
分割必涵蓋全部原子，包括零質量點；cell順序保原輸入，cell內按來源排序。X可負，有限值可積；獨立性不是全期望公式的前提。
規則：totalexp_same_law_complete_disjoint_partition_all_atoms · 依賴：G001, S007
操作前
Total expectation cell0 mass := sum(1/11, 2/11, 8/11)
操作後
Total expectation cell0 mass = 1
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Total expectation cell0 numerator := sum(1/11, 4/11, 32/11)
操作後
Total expectation cell0 numerator = 37/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Total expectation cell0 positive-mass conditional mean := div(37/11, 1)
操作後
Total expectation cell0 positive-mass conditional mean = 37/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
ORIGINAL cell index=0,atom labels=[0, 1, 2];mass=1;weighted numerator=37/11
操作後
conditional quotient=37/11;positive denominator qualifies division
條件：無
正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。
規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S011
操作前
Total expectation cell1 mass := sum(0)
操作後
Total expectation cell1 mass = 0
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Total expectation cell1 numerator := sum(0)
操作後
Total expectation cell1 numerator = 0
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
ORIGINAL cell index=1,atom labels=[3];mass=0;weighted numerator=0
操作後
conditional quotient=null;null cell:every nonnegative atom mass is0,numerator0;NO division performed
條件：無
正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。
規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S014
操作前
Total expectation positive cell0 weighted mean := mul(1, 37/11)
操作後
Total expectation positive cell0 weighted mean = 37/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
Total expectation sum positive-cell weighted means := sum(37/11)
操作後
Total expectation sum positive-cell weighted means = 37/11
條件：無
保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
ALL original cell rows[index,atoms,mass,conditional_or_null,numerator]=[[0, [0, 1, 2], 1, 37/11, 37/11], [1, [3], 0, null, 0]]
操作後
positive-cell weighted sum=37/11;ORIGINAL global mean=37/11;equal=是;disjoint complete cells regroup EVERY original p_i*X_i exactly ONCE,null contributions0
條件：無
每個正cell的mass乘條件均值恰還原分子，零cell貢獻0；全部不交且完整分割才可重組為原全體加權和。這是一般恆等理由，不是無權平均cell均值或一次數值湊巧相等。
規則：totalexp_regroup_complete_partition_general_identity · 依賴：G001, S017
操作前
ACTUAL null cells=[1];positive weighted sum=37/11;mean=37/11
操作後
null_cell_division_claim fixed No;undefined cell quotients remain null,while the weighted total-expectation identity still holds
條件：無
最後No拒絕null-cell除法，不是否定恆等式。null cell上的條件期望版本可另選常數，但不能說由0/0唯一算出。
規則：totalexp_null_division_nonclaim_not_tower_failure · 依賴：G001, S018
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation sum positive-cell weighted means，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation positive cell0 weighted mean，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 numerator，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 mass，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 positive-mass conditional mean，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 numerator，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 mass，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation full original mean，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom3 weighted X，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom2 weighted X，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom1 weighted X，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom0 weighted X，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation complete original mass，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([[0, 1, 37/11], [1, 0, null]], 37/11, 37/11, 是, 否, zero_mass_conditional_mean_not_divided_and_weighted_contribution_zero)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: a99f53f17099517275ac0bb818dc5b71581889cd3e35549a7b3b9a620e56887acandidate record SHA-256: 4e09385ec47ba4e57e3607af0c78400b1651aca3f2f129d3444f8325aeea609esemantic review receipt SHA-256: dd44555041dfbb6fe9936aa00b9a5f8c5982c2784ef61dd0cbd5d1a303a49c1aquestion-first witness SHA-256: 9a6011263f6ac53b9a1fd57addf2f3e2f6088b54802c539f332d689480dc2d17Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED