第 81 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=5≥0; x,y commute

(x+y)^5 is a finite product of 5 factors

choose exactly 0 of 5 factors to contribute y

C(5,0)=120/(1·120)=1

C(5,0)=1; choose y 0 times

1·x^5·y^0

choose exactly 1 of 5 factors to contribute y

C(5,1)=120/(1·24)=5

C(5,1)=5; choose y 1 times

5·x^4·y^1

choose exactly 2 of 5 factors to contribute y

C(5,2)=120/(2·6)=10

C(5,2)=10; choose y 2 times

10·x^3·y^2

choose exactly 3 of 5 factors to contribute y

C(5,3)=120/(6·2)=10

C(5,3)=10; choose y 3 times

10·x^2·y^3

choose exactly 4 of 5 factors to contribute y

C(5,4)=120/(24·1)=5

C(5,4)=5; choose y 4 times

5·x^1·y^4

choose exactly 5 of 5 factors to contribute y

C(5,5)=120/(120·1)=1

C(5,5)=1; choose y 5 times

1·x^0·y^5

all k=0 through 5 have been accounted for

(x+y)^5=1·x^5·y^0 + 5·x^4·y^1 + 10·x^3·y^2 + 10·x^2·y^3 + 5·x^1·y^4 + 1·x^0·y^5

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
• S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。

結論

(5, [[0, 1, 5, 0], [1, 5, 4, 1], [2, 10, 3, 2], [3, 10, 2, 3], [4, 5, 1, 4], [5, 1, 0, 5]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。